2021-06-21
Снаряд, вылетев из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в $n$ раз больше скорости первой. Найдите расстояние между осколками через время $\tau$ после разрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение снаряда и его частей. Используем декартову систему координат, направив ось ОХ вдоль горизонтальной составляющей начальной скорости снаряда, а ось OY - вертикально вверх. Обозначим скорости частей снаряда сразу после взрыва $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$. Поскольку первая часть снаряда полетела вертикально, горизонтальная составляющая ее скорости сразу после взрыва равна нулю: $u_{1x} = 0$. Пренебрегая импульсом сил тяжести за время взрыва и массой сгоревшей при взрыве части снаряда, на основании закона сохранения импульса получим, что горизонтальная составляющая второго осколка сразу после взрыва составляет $u_{2x} = 2v \cos \alpha$ (при этом было учтено, что снаряд разорвался на две равные части). Поскольку взрыв снаряда произошел в верхней точке траектории, согласно закону сохранения импульса, вертикальные составляющие скоростей осколков должны удовлетворять соотношению $u_{1y} + u_{2y} = 0$. Учитывая, что $u_{2} = nu_{1}, u_{1} = u_{1y}$ и $u_{2} = \sqrt{ u_{2x}^{2} + u_{2y}^{2}}$, из составленных уравнений находим скорость первого осколка сразу после взрыва: $u_{1} = \frac{2v \cos \alpha}{ \sqrt{n^{2} - 1 } }$. После взрыва оба осколка совершают свободное падение; следовательно, один осколок относительно другого движется с неизменной скоростью, а потому искомое расстояние равно $L( \tau ) = u_{отн} \tau$, где $\vec{u}_{отн} = \vec{u}_{1} - \vec{u}_{2}$. После алгебраических преобразований получим
$L( \tau ) = \tau \sqrt{(2v \cos \alpha )^{2} + (2u_{1} )^{2}} = 2v \tau \sqrt{ \frac{n^{2} + 3 }{n^{2} - 1 } } \cos \alpha$.