2021-06-21
Потенциальная энергия атома в некотором кристалле описывается формулой $U(r) = U_{0} \left ( \left ( \frac{r_{0} }{r} \right )^{12} - 2 \left ( \frac{r}{r_{0} } \right )^{6} \right )$, где $U_{0} = 8,8 \cdot 10^{-4} эВ$, а $r_{0} = 0,287 нм$ соответствует равновесному положению атома. При малых отклонениях от положения равновесия происходят колебания. Согласно квантовым представлениям, энергия колебаний с частотой $\omega = 2 \pi \nu$ может принимать значения $E_{n} = h \nu \left ( n + \frac{1}{2} \right ), n = 0, 1, 2, \cdots$, где $h = 6,62 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$ - постоянная Планка. Оцените наименьшую амплитуду $X_{0}$ колебаний смещения атома в таком кристалле. Масса атома $m = 6,4 \cdot 10^{-24} г; 1 эВ = 1,6 \cdot 10^{-19} Дж$.
Решение:
Для определения круговой частоты $\omega$ колебаний атома обратимся к гармоническим колебаниям груза массой $m$ на пружине жесткостью $k$, находящегося на гладкой горизонтальной плоскости. При смещении на $x$ от положения равновесия приращение потенциальной энергии груза составляет $\frac{kx^{2}}{2}$, приращение его кинетической энергии составляет $\frac{mv_{x}^{2}}{2}$, а круговая частота колебаний равна $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$. Вернемся к нашей задаче и проанализируем выражение для потенциальной энергии атома в кристалле. Отметим, что при $r = r_{0}$ потенциальная энергия достигает минимума (проверьте это самостоятельно). Тогда при малых смещениях $\delta r ( \delta r \ll r_{0}$) от положения равновесия приращение потенциальной энергии можно приближенно считать пропорциональным квадрату смещения:
$\Delta U = U(r_{0} + \delta r) - U(r_{0}) = \frac{k( \delta r)^{2}}{2}$.
Найдем коэффициент пропорциональности $k$. При малых $x$ справедливы приближенные равенства
$(1 + x)^{n} = 1 + nx + n(n - 1)x^{2}$,
$\frac{1}{1 + x} = 1 - x$,
и приращение потенциальной энергии при малых смещениях $\delta r$ от положения равновесия принимает вид
$\Delta U = U (r_{0} + \delta r) - U(r_{0}) = \frac{36U_{0}}{r_{0}^{2}} ( \delta r)^{2}$.
Отсюда получаем
$k = \frac{72 U_{0} }{r_{0}^{2} }$ и $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } = \frac{6}{r_{0} } \sqrt{ \frac{2U_{0} }{m} }$.
Искомую амплитуду $X_{0}$ найдем из условия квантования колебаний:
$E_{0} = \frac{h \nu}{2} = \frac{k X_{0}^{2}}{2}$,
откуда
$X_{0} = \frac{1}{2 \pi } \sqrt{ \frac{h}{m \nu} } = \sqrt{ \frac{hr_{0} }{12 \pi \sqrt{2mU_{0} } } } = 0,06 нм$.