Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15273
2021-06-21 
Вдали от всех тяготеющих масс в космосе находится тонкая однородная спица длиной $L = 10 м$ и массой $M = 1 кг$. По ней без трения может скользить бусинка массой $m = 0,1 кг$. В начальный момент бусинка смещена относительно центра спицы на $d = 1 см$ и система неподвижна. С какой по величине скоростью $V$ (в системе спицы) и через какое время $\tau$ бусинка достигнет центра спицы? Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^{2}}{кг^{2}}$.
Решение:
В процессе колебаний центр масс системы тел будет оставаться неподвижным. Начало неподвижной системы отсчета $OX$ поместим в центр масс, а подвижную систему отсчета $OX_{1}$ свяжем со спицей. Ускорение бусинки при малом ее смещении $x_{1}$ (в системе спицы) определяется силой притяжения концевого отрезка спицы, имеющего вдвое большую длину и расположенного на расстоянии $\frac{L}{2}$ от бусинки:
$a_{бx} = \frac{F_{x}}{m} = - \frac{Gm \frac{M}{L} 2x_{1}}{m \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } = - \frac{8 GM}{L^{3} } x_{1}$,
Ускорение стержня при этом смещении бусинки равно
$a_{c \tau} = - \frac{F_{x} }{M} = - \frac{Gm \frac{M}{L} 2x_{1} }{M \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } = \frac{8Gm}{L^{3} } x_{1}$.
Для сложения ускорений справедливо то же правило, что и для сложения скоростей (в этом легко убедиться, например, путем дифференцирования). Тогда ускорение бусинки относительно стержня будет
$a_{бx_{1} } = x_{1}^{ \prime \prime} = a_{бx} - a_{cx} = - \frac{8G(M + m)}{L^{3} } x_{1}$.
Получено уравнение гармонических колебаний бусинки относительно спицы. Круговая частота этих колебаний равна
$\omega = \frac{2}{L} \sqrt{ \frac{2G(M + m)}{L}} \approx 0,77 \cdot 10^{-6} с^{-1}$.
Бусинка вернется в центр спицы через четверть периода колебаний
$\tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi }{2 \omega } \approx 2 \cdot 10^{6} с$
с относительной скоростью
$V = \omega d \approx 0,77 \cdot 10^{-8} м/с$.
Вдали от всех тяготеющих масс в космосе находится тонкая однородная спица длиной $L = 10 м$ и массой $M = 1 кг$. По ней без трения может скользить бусинка массой $m = 0,1 кг$. В начальный момент бусинка смещена относительно центра спицы на $d = 1 см$ и система неподвижна. С какой по величине скоростью $V$ (в системе спицы) и через какое время $\tau$ бусинка достигнет центра спицы? Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^{2}}{кг^{2}}$.
Решение:
В процессе колебаний центр масс системы тел будет оставаться неподвижным. Начало неподвижной системы отсчета $OX$ поместим в центр масс, а подвижную систему отсчета $OX_{1}$ свяжем со спицей. Ускорение бусинки при малом ее смещении $x_{1}$ (в системе спицы) определяется силой притяжения концевого отрезка спицы, имеющего вдвое большую длину и расположенного на расстоянии $\frac{L}{2}$ от бусинки:
$a_{бx} = \frac{F_{x}}{m} = - \frac{Gm \frac{M}{L} 2x_{1}}{m \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } = - \frac{8 GM}{L^{3} } x_{1}$,
Ускорение стержня при этом смещении бусинки равно
$a_{c \tau} = - \frac{F_{x} }{M} = - \frac{Gm \frac{M}{L} 2x_{1} }{M \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } = \frac{8Gm}{L^{3} } x_{1}$.
Для сложения ускорений справедливо то же правило, что и для сложения скоростей (в этом легко убедиться, например, путем дифференцирования). Тогда ускорение бусинки относительно стержня будет
$a_{бx_{1} } = x_{1}^{ \prime \prime} = a_{бx} - a_{cx} = - \frac{8G(M + m)}{L^{3} } x_{1}$.
Получено уравнение гармонических колебаний бусинки относительно спицы. Круговая частота этих колебаний равна
$\omega = \frac{2}{L} \sqrt{ \frac{2G(M + m)}{L}} \approx 0,77 \cdot 10^{-6} с^{-1}$.
Бусинка вернется в центр спицы через четверть периода колебаний
$\tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi }{2 \omega } \approx 2 \cdot 10^{6} с$
с относительной скоростью
$V = \omega d \approx 0,77 \cdot 10^{-8} м/с$.
