Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15272
2021-06-21 
Математический маятник длинной $L$ совершает колебания в вертикальной плоскости с малой угловой амплитудой. Для увеличения амплшпуды колебаний нить при каждом прохождении положения равновесия укорачивают на малую величину $\Delta L$, вытягивая ее через узкое отверстие в месте подвеса (рис.), а в каждом крайнем положении нить удлиняют на ту же величину $\Delta L$. Нить удлиняют и укорачивают таким образом, что за время одного изменения длины сила натяжения остается постоянной по величине. Найдите относительное увеличение амплитуды колебаний угла отклонения нити от вертикали за один период.
Решение:
При прохождении маятником положения равновесия внешняя сила поднимает грузик на $\Delta L$ и совершает при этом работу
$\left ( \frac{mV^{2}}{L} + mg \right ) \Delta L$,
где $m$ - масса грузика, $V$ - его максимальная скорость. В крайних положениях, при которых угол отклонения нити от вертикали равен $\pm A$, длина маятника увеличивается на $\Delta L$. В этом случае работа внешней силы равна $-mg \Delta L \cos A$. В течение каждого периода длина маятника дважды увеличивается и уменьшается. Таким образом, приращение энергии маятника за период колебаний составляет
$\Delta W = 2 \left ( \frac{mV^{2} }{L} + mg(1 - \cos A) \right ) \Delta L$,
или, поскольку рассматриваются малые колебания, т.е. угол $A$ мал и $\cos A = 1 - \frac{A^{2} }{2}$,
$\Delta W = 2 \left ( mg \Delta L \frac{A^{2} }{2} + \frac{mV^{2} }{L} \Delta L \right )$.
Амплитуда колебаний скорости $V$ связана с амплитудой колебаний смещения $LA$ соотношением $V = \omega LA$, где $\omega = \sqrt{ \frac{g}{L}}$ - круговая частота колебаний маятника. Тогда
$\Delta W = 6 \frac{ \Delta L}{L} \frac{mV^{2} }{2} = 6 \frac{ \Delta L}{L} mgL \frac{A^{2} }{2}$.
Энергия маятника равна
$W = \frac{mV^{2} }{2} = mgL \frac{A^{2} }{2}$,
поэтому формула для $\Delta W$ принимает вид
$\Delta W = 6 \frac{ \Delta L}{L} W$.
Таким образом, энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии $W$ и величине $\frac{ \Delta L}{L}$. Отсюда для относительного увеличения энергии получаем
$\frac{ \Delta W}{W} = 6 \frac{ \Delta L}{L}$.
Теперь, принимая во внимание выражение для энергии маятника
$W = mgL \frac{A^{2} }{2}$,
найдем
$\Delta W = \frac{mgL}{2} 2 A \Delta A$ и $\frac{ \Delta W}{W} = 2 \frac{ \Delta A}{A}$.
Сравнивая между собой два выражения для $\frac{ \Delta W}{W}$, для относительного увеличения амплитуды угла за период получим
$\frac{ \Delta A}{A} = 3 \frac{ \Delta L}{L}$.
Математический маятник длинной $L$ совершает колебания в вертикальной плоскости с малой угловой амплитудой. Для увеличения амплшпуды колебаний нить при каждом прохождении положения равновесия укорачивают на малую величину $\Delta L$, вытягивая ее через узкое отверстие в месте подвеса (рис.), а в каждом крайнем положении нить удлиняют на ту же величину $\Delta L$. Нить удлиняют и укорачивают таким образом, что за время одного изменения длины сила натяжения остается постоянной по величине. Найдите относительное увеличение амплитуды колебаний угла отклонения нити от вертикали за один период.
Решение:
При прохождении маятником положения равновесия внешняя сила поднимает грузик на $\Delta L$ и совершает при этом работу
$\left ( \frac{mV^{2}}{L} + mg \right ) \Delta L$,
где $m$ - масса грузика, $V$ - его максимальная скорость. В крайних положениях, при которых угол отклонения нити от вертикали равен $\pm A$, длина маятника увеличивается на $\Delta L$. В этом случае работа внешней силы равна $-mg \Delta L \cos A$. В течение каждого периода длина маятника дважды увеличивается и уменьшается. Таким образом, приращение энергии маятника за период колебаний составляет
$\Delta W = 2 \left ( \frac{mV^{2} }{L} + mg(1 - \cos A) \right ) \Delta L$,
или, поскольку рассматриваются малые колебания, т.е. угол $A$ мал и $\cos A = 1 - \frac{A^{2} }{2}$,
$\Delta W = 2 \left ( mg \Delta L \frac{A^{2} }{2} + \frac{mV^{2} }{L} \Delta L \right )$.
Амплитуда колебаний скорости $V$ связана с амплитудой колебаний смещения $LA$ соотношением $V = \omega LA$, где $\omega = \sqrt{ \frac{g}{L}}$ - круговая частота колебаний маятника. Тогда
$\Delta W = 6 \frac{ \Delta L}{L} \frac{mV^{2} }{2} = 6 \frac{ \Delta L}{L} mgL \frac{A^{2} }{2}$.
Энергия маятника равна
$W = \frac{mV^{2} }{2} = mgL \frac{A^{2} }{2}$,
поэтому формула для $\Delta W$ принимает вид
$\Delta W = 6 \frac{ \Delta L}{L} W$.
Таким образом, энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии $W$ и величине $\frac{ \Delta L}{L}$. Отсюда для относительного увеличения энергии получаем
$\frac{ \Delta W}{W} = 6 \frac{ \Delta L}{L}$.
Теперь, принимая во внимание выражение для энергии маятника
$W = mgL \frac{A^{2} }{2}$,
найдем
$\Delta W = \frac{mgL}{2} 2 A \Delta A$ и $\frac{ \Delta W}{W} = 2 \frac{ \Delta A}{A}$.
Сравнивая между собой два выражения для $\frac{ \Delta W}{W}$, для относительного увеличения амплитуды угла за период получим
$\frac{ \Delta A}{A} = 3 \frac{ \Delta L}{L}$.
