Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15268
2021-06-14 
Проводник массой $M$ и длиной $l$ подвешен за концы к непроводящему потолку с помощью двух одинаковых проводящих пружин, каждая жесткостью $k$ (рис.). К верхним концам пружин подсоединен конденсатор емкостью $C$. Вся конструкция находится в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости конструкции. Проводник смещают вниз на расстояние $h$ от положения равновесия, а затем отпускают. Определите скорость проводника, когда он снова окажется в положении равновесия. Сопротивлением и самоиндукцией проводников пренебречь.
Решение:
При движении проводника со скоростью $v$ в нем возникает ЭДС индукции $E_{i} = vIB$. Поскольку проводник закорочен конденсатором, напряжение на конденсаторе всегда равно ЭДС индукции:
$U_{C} = vIB$.
Найдем удлинение $\Delta x$ пружин в положении равновесия проводника из условия равновесия:
$Mg = 2k \Delta x$, и $\Delta x = \frac{Mg}{2k}$.
Когда проводник сместили вниз на расстояние $h$ от положения равновесия,удлинение пружины стало равным
$\Delta x^{ \prime } = \Delta x + h$.
Найдем энергию системы в тот момент, когда проводник отпускают из смещенного положения. Кинетическая энергия проводника равна нулю, потенциальная энергия проводника в поле тяжести равна
$\Pi_{1} = - Mgh$
(начало отсчета выбрано в положении равновесия). Поскольку скорость проводника равна нулю, конденсатор не заряжен. Энергия упругой деформации пружин равна
$E_{1} = 2 \frac{k \Delta x^{ \prime 2} }{2} = k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2}$.
Полная энергия нашей системы в этот момент составляет
$W_{1} = \Pi_{1} + E_{1} = - Mgh + k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2}$.
Найдем теперь энергию системы, когда проводник будет проходить положение равновесия. Обозначим скорость проводника в этот момент через $v$. Энергия заряженного конденсатора равна
$E_{к} = \frac{CU_{C}^{2} }{2} = \frac{C(vlB)^{2}}{2}$.
Потенциальная энергия проводника в поле тяжести равна нулю. Энергия упругой деформации пружин равна
$E_{2} = 2 \frac{k \Delta x^{2} }{2} = \frac{(Mg)^{2} }{4k}$.
Кинетическая энергия проводника равна
$K_{2} = \frac{Mv^{2} }{2}$.
Полная энергия системы в этот момент составляет
$W_{2} = E_{к} + E_{2} + K_{2} = \frac{C(vlB)^{2}}{2} = \frac{(Mg)^{2}}{4k} = \frac{Mv^{2}}{2}$.
По закону сохранения энергии. $W_{1} = W_{2}$, или
$-Mgh + k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2} = \frac{C(vlB)^{2} }{2} + \frac{(Mg)^{2} }{4k} + \frac{Mv^{2} }{2}$.
Отсюда находим скорость проводника:
$v = h \sqrt{ \frac{2k}{Cl^{2}B^{2} + M } }$.
Проводник массой $M$ и длиной $l$ подвешен за концы к непроводящему потолку с помощью двух одинаковых проводящих пружин, каждая жесткостью $k$ (рис.). К верхним концам пружин подсоединен конденсатор емкостью $C$. Вся конструкция находится в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости конструкции. Проводник смещают вниз на расстояние $h$ от положения равновесия, а затем отпускают. Определите скорость проводника, когда он снова окажется в положении равновесия. Сопротивлением и самоиндукцией проводников пренебречь.
Решение:
При движении проводника со скоростью $v$ в нем возникает ЭДС индукции $E_{i} = vIB$. Поскольку проводник закорочен конденсатором, напряжение на конденсаторе всегда равно ЭДС индукции:
$U_{C} = vIB$.
Найдем удлинение $\Delta x$ пружин в положении равновесия проводника из условия равновесия:
$Mg = 2k \Delta x$, и $\Delta x = \frac{Mg}{2k}$.
Когда проводник сместили вниз на расстояние $h$ от положения равновесия,удлинение пружины стало равным
$\Delta x^{ \prime } = \Delta x + h$.
Найдем энергию системы в тот момент, когда проводник отпускают из смещенного положения. Кинетическая энергия проводника равна нулю, потенциальная энергия проводника в поле тяжести равна
$\Pi_{1} = - Mgh$
(начало отсчета выбрано в положении равновесия). Поскольку скорость проводника равна нулю, конденсатор не заряжен. Энергия упругой деформации пружин равна
$E_{1} = 2 \frac{k \Delta x^{ \prime 2} }{2} = k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2}$.
Полная энергия нашей системы в этот момент составляет
$W_{1} = \Pi_{1} + E_{1} = - Mgh + k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2}$.
Найдем теперь энергию системы, когда проводник будет проходить положение равновесия. Обозначим скорость проводника в этот момент через $v$. Энергия заряженного конденсатора равна
$E_{к} = \frac{CU_{C}^{2} }{2} = \frac{C(vlB)^{2}}{2}$.
Потенциальная энергия проводника в поле тяжести равна нулю. Энергия упругой деформации пружин равна
$E_{2} = 2 \frac{k \Delta x^{2} }{2} = \frac{(Mg)^{2} }{4k}$.
Кинетическая энергия проводника равна
$K_{2} = \frac{Mv^{2} }{2}$.
Полная энергия системы в этот момент составляет
$W_{2} = E_{к} + E_{2} + K_{2} = \frac{C(vlB)^{2}}{2} = \frac{(Mg)^{2}}{4k} = \frac{Mv^{2}}{2}$.
По закону сохранения энергии. $W_{1} = W_{2}$, или
$-Mgh + k \left ( \frac{Mg}{2k} + h \right )^{2} = \frac{C(vlB)^{2} }{2} + \frac{(Mg)^{2} }{4k} + \frac{Mv^{2} }{2}$.
Отсюда находим скорость проводника:
$v = h \sqrt{ \frac{2k}{Cl^{2}B^{2} + M } }$.
