2021-06-14
Маленький грузик массой $m$ на пружине жесткостью $k$ (рис.) совершает гармонические колебания относительно главной оптической оси тонкой плосковогну той линзы с фокусным расстоянием $-F$ ($F > 0$). Линза плотно прижата к вертикально расположенному плоскому зеркалу. Расстояние $L = 4,5F$. 1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение грузика в данной оптической системе? 2) С какой скоростью изображение грузика в системе линза - зеркало пересекает главную оптическую ось линзы, если амплитуда колебаний груза равна $A$?
Решение:
1) На рисунке изображен ход лучей, когда груз - точка В - находится на максимальном расстоянии $A$ от главной оптической оси системы $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$. Изображение грузика после двойного прохождения лучами линзы и зеркального отражения от плоского зеркала получается в точке $B^{ \prime }$ на расстоянии $f$ от оптического центра системы. Из формулы линзы
$\frac{1}{L} + \frac{1}{f} = - \frac{2}{F}$,
где двойка в правой части означает двойное прохождение лучами линзы, найдем
$f = - \frac{LF}{2L + F} = -0,45F$.
Знак «минус» говорит о том, что изображение мнимое.
2) На нашем рисунке расстояние от грузика до главной оптической оси равно A, а расстояние от изображения (точка $B^{ \prime }$) до оси равно $B^{ \prime }B^{ \prime \prime}$ (точка $B^{ \prime \prime } \in O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$). Из подобия треугольников $B^{ \prime}OB^{ \prime \prime}$ и $DOC$ ($O$ - оптический центр линзы) следует, что
$\frac{A}{B^{ \prime}B^{ \prime \prime } } = \frac{L}{f} = \frac{2L + F}{F}$.
Это соотношение для расстояний до оси грузика и его изображения, очевидно, справедливо и для произвольного момента, когда расстояние грузика до оси равно $A \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$, где $\sqrt{ \frac{k}{m} } = \omega$ - циклическая частота колебании. Расстояние от изображения до оси обозначим через $y$ ($y = B^{ \prime}B^{ \prime \prime}$). Тогда получим
$\frac{A \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t }{y} = \frac{2L + F}{F} = 10$, и $y = \frac{A \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t }{10}$.
Продифференцируем это выражение по времени:
$y^{ \prime} = - \frac{A \sqrt{ \frac{k}{m} } \sin \sqrt{ \frac{k}{m} } t }{10}$.
Грузик будет пересекать главную оптическую ось в те моменты, когда
$\sqrt{ \frac{ k }{m}} t = \frac{ \pi }{2} + \pi N = \frac{(2N + 1) \pi}{2}$, где $N = 0, 1, 2 \cdots$
В эти моменты
$\sin \sqrt{ \frac{k}{m} } t_{N} = (-1)^{N}$.
и скорость пересечения изображением главной оптической оси равна
$y_{N}^{ \prime} = v_{N} = (-1)^{N + 1} \frac{A \sqrt{ \frac{k}{m} } }{10} = (-0,1)^{N + 1} A \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Отрицательный знак означает, что скорость шарика направлена вниз.