2021-06-14
Из тонкой линзы диаметром $D = 2,5 см$ с фокусным расстоянием $F = 50 см$ вырезали центральную полоску шириной $a = 0,5 см$ (рис.), после чего обе половинки линзы сдвинули до соприкосновения - такую систему называют билинзой. Точеч ный источник света S с длиной волны $\lambda = 500 нм$ расположен на оси системы в фокальной плоскости линзы (рис.). На каком расстоянии $L$ от билинзы следует расположить экран, чтобы на нем можно было наблюдать максимально возможное число интерференционных полос? Определите ширину $\Delta x$ интерференционных полос и их число. Определите также допустимую немонохроматичность $\Delta \lambda$ источника света в этой интерференционной схеме, необходимую для наблюдения всех интерференционных полос.
Решение:
После прохождения каждой части линзы свет выйдет в виде параллельного пучка под некоторым углом $\alpha$ к горизонту. На рисунке показан ход лучей, прошедших через верхний сегмент линзы. Оптический центр О (см. рис.) исходной линзы является оптическим центром $O^{ \prime}$ для верхнего сегмента линзы. Поэтому по выходе из линзы пучок света пойдет под углом $\alpha = arctg \frac{a}{2F} = \frac{a}{2F}$ (угол $\alpha$ мал). Параллельный пучок света, выходящий из нижнего сегмента линзы (на рисунке этот сегмент не нарисован), идет под углом $\alpha^{ \prime} = \alpha$.
Эти два параллельных пучка света когерентны, поскольку они получены от одного источника. Интерференционная картина будет иметь место в той части экрана, где будет происходить перекрытие пучков. Интерференционные полосы на экране будут расположены горизонтально и перпендикулярно плоскости рисунка.
Ширина интерференционных полос (т.е. расстояние между соседними максимумами) не зависит от расстояния экрана до билинзы и определяется только углом сходимости $\phi$ интерферирующих пучков и длиной волны света $\lambda$. Для данной оптической схемы $\phi = 2 \alpha$ и ширина интерференционных полос
$\Delta x = \frac{ \lambda }{ \phi } = \frac{ \lambda }{2 \alpha} = \frac{ \lambda F}{a} = 50 мкм$.
Максимально возможное число интерференционных полос будет наблюдаться на экране в тот момент, когда экран расположен в области максимального перекрытия пучков, как это и изображено на рисунке. Из геометрических соображений следует, что
$L = \frac{D - a}{4 tg \alpha } = \frac{(D - a)F}{2a} = 1 м$.
Тогда максимальное число интерференционных полос равно
$N_{max} = \frac{(D - a)a}{2 \lambda F} = 200$.
Поскольку интерференционная картина симметрична относительно горизонтальной оси, то крайние интерференционные полосы будут иметь максимальный порядок интерференции $m_{max} = \frac{N_{max}}{2} = 100$.
Если источник света S квазимонохроматический, то мы будем отчетливо наблюдать на экране все интерференционные полосы. Но если источник света не монохроматический и его спектральный состав включает в себя длины волн в интервале от $\lambda$ до $\lambda + \Delta \lambda$, то это приводит к ограничению количества наблюдаемых полос. Попробуем разобраться, какое влияние оказывает на интерференционную картину немонохроматичность интерферирующих пучков света.
Мы знаем, что ширина интерференционных полос пропорциональна длине волны интерферирующих лучей. Следовательно, в случае света, состоящего из набора различных длин волн от $\lambda$ до $\lambda + \Delta \lambda$, мы будем иметь наложение интерференционных картин с разными ширинами интерференционных полос. На рисунке изображено распределение интенсивности в интерференционной картине от нулевого максимума до максимума $m$-го порядка (в нашем случае $m = 6$). Черным цветом нарисовано распределение интенсивности для длины волны $\lambda$, а красным цветом показаны положения максимумов для длины волны $\lambda + \Delta \lambda$. По мере увеличения $m$ максимум для $\lambda + \Delta \lambda$ все больше отходит от максимума для $\lambda$, и, наконец, при некотором $m$ максимум интенсивности $m$-го порядка для длины волны $\lambda + \Delta \lambda$ совпадает с максимумом $(m + 1)$-го порядка для длины волны $\lambda$. Учитывая, что между этими максимумами расположены максимумы других длин волн (от $\lambda$ до $\lambda + \Delta \lambda$), очевидно, что при данном т интерференционная картина будет полностью размыта. То значение т, при котором интерференционная картина пропадает, можно найти из условия
$m( \lambda + \Delta \lambda ) = (m + 1) \lambda$,
откуда
$m = \frac{ \lambda }{ \Delta \lambda }$.
Это означает, что, если мы хотим наблюдать интерференционные полосы вплоть до $m$-го порядка, степень немонохроматичности должна быть не хуже чем $\frac{ \lambda }{m}$. Допустимая немонохроматичность источника света в нашей задаче составляет
$\Delta \lambda = \frac{ \lambda }{m_{max} } = 5 нм$.
К вопросу о влиянии немонохроматичности излучения на интерференционную картину можно подойти с другой стороны. Идеальных гармонических колебаний. которые длятся бесконечно долго, в природе не существует. В реальных колебательных системах время рождения фотонов мало, но оно конечно. Например, время излучения фотона возбужденным атомом составляет примерно $10^{-8} с$. Тогда длина излучаемого цуга (участка гармонических колебаний) составляет 3 м. В радиофизике устанавливается связь между временем излучения цуга $\tau$ и степенью немонохроматичности такого излучения $\Delta \lambda$:
$\tau \frac{c \Delta \lambda }{ \lambda^{2} } \sim 1$,
где $\lambda$ - средняя длина волны. Второй сомножитель есть не что иное как разброс по частоте:
$\nu = \frac{c}{ \lambda}, \Delta \nu = - \frac{c \Delta \lambda }{ \lambda^{2} }$.
Следовательно, если степень немонохроматичности света $\Delta \lambda$, то длина цуга $l = \tau c = \frac{ \lambda^{2}}{ \Delta \lambda}$. Рассмотрим максимум интерференционной картины $m$-го порядка. Он образован двумя идентичными цугами, расстояние между которыми равно $m \lambda$. Если это расстояние больше или равно длине цуга (в этом случае цуги не перекрываются), то интерференции нет, а имеет место простое сложение интенсивностей обоих цугов. Приравнивая разность хода и длину цуга, получим
$m_{max} \lambda = \frac{ \lambda^{2} }{ \Delta \lambda }$, и $m_{max} = \frac{ \lambda }{ \Delta \lambda }$.
Наблюдаемый максимальный интерференционный порядок в интерференционной картине позволяет оценить длину цуга: $l = \tau c = m_{max} \lambda$.