Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15253
2021-06-14 
На двух горизонтальных параллельных и проводящих рельсах, расстояние между которыми $l$, расположены два проводящих и отстоящих друг от друга на расстояние $b$ стержня, каждый массой $m$. Оми ческое сопротивление каждого стержня $R$, а омическим сопротивлением рельсов можно пренебречь.
На каком расстоянии друг от друга окажутся стержни после включения внешнего однородного магнитного поля с индукцией $\vec{B}$? Вектор индукции перпендикулярен плоскости стержней и рельсов.
Решение:
Сначала обсудим процесс установления магнитного поля, который осуществляется быстро, но за конечное время. Рассмотрим произвольный момент времени, когда еще происходит нарастание индукции магнитного поля. Нарастающее магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля. Если магнитное поле симметрично относительно центра прямоугольника, образованного рельсами и стержнями, то силовые линии вихревого электрического поля будут иметь вид концентрических окружностей (рис.). Работа по перемещению единичного положительного заряда в вихревом поле вдоль замкнутого контура равна ЭДС индукции
$E_{i} = - \frac{d \Phi }{dt} = - lb \frac{dB}{dt}$.
В нашем контуре будет течь ток
$I = \frac{|E_{i} |}{2R} = \frac{lb}{2R} \frac{dB}{dt}$.
Сила, действующая на каждый из стержней, равна
$F = IlB = \frac{I^{2}b }{2R}B \frac{dB}{dt} = \frac{l^{2}b}{4R} \frac{d(B^{2}) }{dt}$.
Уравнение движения каждого стержня имеет вид
$m \frac{dv}{dt} = \frac{l^{2}b }{4R} \frac{d(B^{2} )}{dt}$,
или
$dv = \frac{l^{2}b }{4mR} d(B^{2} )$.
Мы нашли связь бесконечно малого изменения скорости стержня с бесконечно малым приращением квадрата индукции поля. Для полных приращений получим
$\int_{0}^{v_{0} } dv = \int_{0}^{B_{0} } \frac{l^{2}b }{4mR} d(B^{2} )$.
Отсюда найдем конечную скорость стержней:
$v_{0} = \frac{l^{2}bB_{0}^{2} }{4mR}$.
Теперь рассмотрим второй этап, когда мы имеем стационарное однородное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. В начальный момент времени два стержня находятся на расстоянии $b$ друг от друга и имеют начальные скорости, равные $v_{0}$ и направленные навстречу друг другу. На рисунке изображены стержни в произвольный момент времени, когда их координаты равны $x_{1}$ и $x_{2}$. Пусть в этот момент в контуре течет ток $I$ по часовой стрелке. Запишем, уравнения движения стрежней:
$mx_{1}^{ \prime \prime} = lIB_{0}$,
$mx_{2}^{ \prime \prime} = - lI B_{0}$.
Эквивалентная электрическая схема контура изображена на рисунке, где $E_{i1} = - x_{1}^{ \prime} lB_{0}$ - ЭДС индукции, возникающая в стержне с координатой $x_{1}$, $E_{i2} = x_{2}^{ \prime } lB_{0}$ - ЭДС индукции во втором стержне, $R$ - их внутренние сопротивления. Закон Ома для этой схемы имеет вид
$x_{2}^{ \prime}lB_{0} - x_{1}^{ \prime}lB_{0} = 2IR$.
Объединив последние три уравнения, получим
$x_{2}^{ \prime \prime } - x_{1}^{ \prime \prime } = - \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} (x_{2}^{ \prime} - x_{1}^{ \prime } )$,
или, обозначив $x_{2} - x_{1} = z$,
$z^{ \prime \prime } + \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR}z^{ \prime} = 0$.
После интегрирования запишем
$z^{ \prime } + \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} z = const$.
Из начальных условий следует, что
$const = \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} b - 2v_{0}$.
При $t \rightarrow \infty \: z^{ \prime } \rightarrow 0$, поэтому для конечного расстояния между стержнями найдем
$b_{к} = b - \frac{2v_{0}mR }{(lB_{0} )^{2} } = \frac{b}{2}$.
На двух горизонтальных параллельных и проводящих рельсах, расстояние между которыми $l$, расположены два проводящих и отстоящих друг от друга на расстояние $b$ стержня, каждый массой $m$. Оми ческое сопротивление каждого стержня $R$, а омическим сопротивлением рельсов можно пренебречь.
На каком расстоянии друг от друга окажутся стержни после включения внешнего однородного магнитного поля с индукцией $\vec{B}$? Вектор индукции перпендикулярен плоскости стержней и рельсов.
Решение:
Сначала обсудим процесс установления магнитного поля, который осуществляется быстро, но за конечное время. Рассмотрим произвольный момент времени, когда еще происходит нарастание индукции магнитного поля. Нарастающее магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля. Если магнитное поле симметрично относительно центра прямоугольника, образованного рельсами и стержнями, то силовые линии вихревого электрического поля будут иметь вид концентрических окружностей (рис.). Работа по перемещению единичного положительного заряда в вихревом поле вдоль замкнутого контура равна ЭДС индукции
$E_{i} = - \frac{d \Phi }{dt} = - lb \frac{dB}{dt}$.
В нашем контуре будет течь ток
$I = \frac{|E_{i} |}{2R} = \frac{lb}{2R} \frac{dB}{dt}$.
Сила, действующая на каждый из стержней, равна
$F = IlB = \frac{I^{2}b }{2R}B \frac{dB}{dt} = \frac{l^{2}b}{4R} \frac{d(B^{2}) }{dt}$.
Уравнение движения каждого стержня имеет вид
$m \frac{dv}{dt} = \frac{l^{2}b }{4R} \frac{d(B^{2} )}{dt}$,
или
$dv = \frac{l^{2}b }{4mR} d(B^{2} )$.
Мы нашли связь бесконечно малого изменения скорости стержня с бесконечно малым приращением квадрата индукции поля. Для полных приращений получим
$\int_{0}^{v_{0} } dv = \int_{0}^{B_{0} } \frac{l^{2}b }{4mR} d(B^{2} )$.
Отсюда найдем конечную скорость стержней:
$v_{0} = \frac{l^{2}bB_{0}^{2} }{4mR}$.
Теперь рассмотрим второй этап, когда мы имеем стационарное однородное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. В начальный момент времени два стержня находятся на расстоянии $b$ друг от друга и имеют начальные скорости, равные $v_{0}$ и направленные навстречу друг другу. На рисунке изображены стержни в произвольный момент времени, когда их координаты равны $x_{1}$ и $x_{2}$. Пусть в этот момент в контуре течет ток $I$ по часовой стрелке. Запишем, уравнения движения стрежней:
$mx_{1}^{ \prime \prime} = lIB_{0}$,
$mx_{2}^{ \prime \prime} = - lI B_{0}$.
Эквивалентная электрическая схема контура изображена на рисунке, где $E_{i1} = - x_{1}^{ \prime} lB_{0}$ - ЭДС индукции, возникающая в стержне с координатой $x_{1}$, $E_{i2} = x_{2}^{ \prime } lB_{0}$ - ЭДС индукции во втором стержне, $R$ - их внутренние сопротивления. Закон Ома для этой схемы имеет вид
$x_{2}^{ \prime}lB_{0} - x_{1}^{ \prime}lB_{0} = 2IR$.
Объединив последние три уравнения, получим
$x_{2}^{ \prime \prime } - x_{1}^{ \prime \prime } = - \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} (x_{2}^{ \prime} - x_{1}^{ \prime } )$,
или, обозначив $x_{2} - x_{1} = z$,
$z^{ \prime \prime } + \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR}z^{ \prime} = 0$.
После интегрирования запишем
$z^{ \prime } + \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} z = const$.
Из начальных условий следует, что
$const = \frac{(lB_{0} )^{2} }{mR} b - 2v_{0}$.
При $t \rightarrow \infty \: z^{ \prime } \rightarrow 0$, поэтому для конечного расстояния между стержнями найдем
$b_{к} = b - \frac{2v_{0}mR }{(lB_{0} )^{2} } = \frac{b}{2}$.
