2021-06-14
Нижний конец вертикальной узкой трубки длиной $2L$ запаян, а верхний конец открыт в атмосферу (рис.а). В нижней половине трубки находится газ при температуре $T_{0}$, а верхняя ее половина заполнена ртутью. До какой минимальной температуры надо нагреть газ в трубке, чтобы он вытеснил всю ртуть? Внешнее давление, выраженное в миллиметрах ртутного столба, равно $L$.
Решение:
Выделим некоторый объем газа высотой $x$ (рис.б). Он находится под давлением столба ртути высотой $L - x$ и внешним давлением $p_{0} = \rho gL$, где $\rho$ - плотность ртути. В соответствии с законом Паскаля давление газа равно $p = \rho g(2L - x)$. Пусть площадь внутреннего поперечного сечения трубки $S$, тогда объем газа $V = S(L + x)$, откуда $x = \frac{V}{S} - L$. Учитывая, что $SL = V_{0}$ - начальный объем газа, запишем $x = \frac{VL}{V_{0}} - L$. Тогда $p = - \frac{p_{0} }{V_{0} }V + 3p_{0}$, что совпадает с (1) при $a =- \frac{p_{0}}{V} < 0$ и $b = 3p_{0} > 0$. В итоге получаем, что искомая температура будет достигнута при $V^{ \prime} = \frac{3V_{0} }{2}$ и равна $T = \frac{9p_{0}V_{0}}{4 \nu R}$. Выразив $\nu$ из уравнения $2p_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$ для исходного состояния газа, имеем $T = \frac{9T_{0}}{8}$.
Из анализа ситуации мы узнали, что достижение определенной температуры системой в некоторых процессах вовсе не дает гарантии, что желаемый процесс произойдет, в нашем случае - что ртуть выльется. Главное условие вытеснения ртути из трубки - сообщение газу количества теплоты $Q = \frac{49p_{0}V_{0}}{32}$, а не нагревание его до температуры $T$. Если в момент достижения максимальной температуры прекратить подвод тепла, газ не сможет совершить работу по расширению только за счет убыли внутренней энергии.
Вывод: данная задача поставлена некорректно. Необходимо требовать либо нахождения максимальной температуры, достигаемой газом в этом процессе (которую и давал ответ к этой задаче), либо нахождения количества теплоты, необходимого для вытеснения ртути из трубки, указав, что в трубке находится, например, одноатомный газ, а площадь внутреннего поперечного сечения трубки $S$. В этом случае, учтя выражения для $p_{0}$ и $V_{0}$, получим $Q = \frac{49 \rho gL^{2} S}{32}$.