2021-06-14
Точечный источник S, дающий свет с длиной волны $\lambda$, помещен в главный фокус собирающей линзы. За линзой находится призма, склеенная из двух стекол с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ ($n_{1} > n_{2}$). Ось линзы проходит по границе раздела стекол и перпендикулярна к передней грани призмы (рис.). Размер передней грани призмы $2b$ меньше диаметра линзы. Преломляющие углы призмы малы: $\alpha \ll 1$ рад. Найдите максимальное число интерференционных полос, которые можно наблюдать на экране, расположенном перпендикулярно оси линзы за призмой.
Решение:
Поскольку точечный источник помещен в главный фокус линзы, выходящий из линзы пучок света параллелен ее главной оптической оси. Учитывая, что эта ось перпендикулярна передней грани призмы, а диаметр линзы больше размеров этой грани, следует считать, что вся призма полностью залита светом, и падающий на призму пучок проходит через ее переднюю грань, не изменяя своего направления распространения. При выходе из призмы пучок света за счет преломления расщепляется на два пучка параллельных лучей. Согласно закону преломления, с учетом принятых на рисунке обозначений, можно утверждать, что оси выходящих пучков образуют с осью падающего на призму пучка углы $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ такие, что $\beta_{1} = \gamma_{1} - \alpha$ и $\beta_{2} = \gamma_{2} - \alpha$, причем $\sin \gamma_{1} = n_{1} \sin \alpha$ и $\sin \gamma_{2} = n_{2} \sin \alpha$. По условию задачи $\alpha \ll 1$, поэтому
$\beta_{1} \approx (n_{1} - 1) \alpha$ и
$\beta_{2} \approx (n_{2} - l) \alpha$.
Поскольку $n_{1} > n_{2}$, получаем $\beta_{1} > \beta_{2}$.
Интерференционная картина может наблюдаться только в области перекрытия выходящих из призмы пучков, т.е. внутри параллелограмма ОВЕК, а плоскость экрана перпендикулярна главной оптической оси линзы, поэтому максимальный размер интерференционной картины будет равен длине отрезка АВ, равного
$AB = OD = OC - DC = b - b tg \alpha tg \beta_{1} \approx (1 -( n_{1} - 1) \alpha^{2})b$.
Для вычисления ширины $\Delta$ интерференционной полосы обратимся к рисунку, на котором изображено сечение плоскостью чертежа той части экрана, которая находится в области перекрытия световых пучков. Пусть разность хода пересекающихся в точке $L$ световых лучей 1 и 2 равна нулю. Тогда в этой точке будет наблюдаться интерференционный максимум нулевого порядка, а в точке М - максимум первого порядка, если разность хода $x_{1} + x_{2}$ попадающих в эту точку лучей $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ равна $\lambda$. Поскольку $x_{1} = \Delta \cdot \sin \beta_{1} \approx \Delta \cdot \beta_{1}$ и $x_{2} = \Delta \cdot \sin \beta_{2} \approx \Delta \cdot \beta_{2}$, го искомую ширину можно найти из соотношения
$\lambda \approx (n_{1} + n_{2} - 2 ) \alpha \Delta$.
Видно, что ширина наблюдаемой интерференционной полосы не зависит от расстояния, на котором находится экран от призмы, поэтому искомое максимальное число интерференционных полос должно быть равно целой части отношения
$\frac{AB}{ \Delta } \approx \frac{(n_{1} + n_{2} - 2)(1 - (n_{1} - 1) \alpha^{2} )b \alpha}{ \lambda }$.