2021-06-14
Диск радиусом $R$ из льда с показателем преломления $n = 1,3$ разрезали по диаметру. Перпендикулярно плоскости разреза на одну из половин диска направили узкий параллельный пучок света, который вышел параллельно падающему пучку на некотором расстоянии $L$ от него. Найдите расстояние $L$, если интенсивности падающего и выходящего пучков почти одинаковы.
Решение:
По условию задачи пучок света, падающий нормально на диаметральную плоскость разреза диска, должен выйти перпендикулярно указанной плоскости. Поэтому можно утверждать, что ход луча света в диске должен быть симметричным относительно радиуса, перпендикулярного плоскости разреза. На рисунке показан ход двух лучей, удовлетворяющих этому условию, причем первый луч испытывает два, а второй - три отражения. Поскольку нормалью к боковой поверхности диска в заданной точке является радиус, проведенный в эту точку, на основании закона отражения можно утверждать, что свет внутри диска распространяется вдоль сторон правильного многоугольника. Как известно, сумма углов правильного 2k-угольника равна $\beta_{k} = 2 \pi (k - 1)$. Поэтому угол $\alpha_{k}$ падения луча, испытывающего при распространении в половине диска $k$ отражений и выходящего параллельно падающему лучу, равен
$\alpha_{k} = \frac{ \beta_{k} }{4k} = 0,5 \pi \left ( 1 - \frac{1}{k} \right )$.
По условию задачи интенсивность выходящего пучка света лишь незначительно отличается от интенсивности падающего пучка. Это возможно только в том случае, если при отражении света на границе лед -воздух имеет место явление полного внутреннего отражения. Как известно, это явление возникает, когда синус угла падения становится равным обратной величине относительного показателя преломления, т.е. угол падения $\alpha$ удовлетворяет условию $\alpha \geq arcsin \frac{1}{n} \approx 50,3^{ \circ}$. Отсюда следует, что условия задачи будут выполнены, если при своем распространении в половине диска свет будет испытывать не менее трех отражений. Обратившись к рисунку, определим возможные значения искомого расстояния:
$L_{k} = 2R \sin \left ( 0,5 \pi \left ( 1 - \frac{1}{k} \right ) \right )$, где $k = 2,3,4, \cdots$