2021-06-14
Плоскую рамку, состоящую из небольшого числа $N$ витков тонкого провода, вращают вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости рамки, с угловой скоростью $\omega$ в однородном вертикальном магнитном поле. Концы обмотки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$. Пренебрегая индуктивностью обмотки, найдите величину $B$ индукции магнитного поля, если площадь каждого витка $S$, а для поддержания вращения к рамке необходимо прикладывать в среднем момент сил $M_{ср}$.
Решение:
Пронизывающий рамку магнитный поток в момент времени $t$ равен
$\Phi(t) = BNS \cos \alpha(t)$,
где $\alpha (t) = \omega t$ - угол между вектором индукции $\vec{B}$ внешнего поля и нормалью к плоскости рамки. Изменение этого потока приводит к возникновению ЭДС индукции:
$\mathcal{E}(t) = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = BNS \omega \sin \omega t$.
Поскольку проводники рамки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$, согласно закону Ома в рамке возникает ток
$I(t) = \frac{ \mathcal{E}(t) }{R}$.
При этом выделяется мгновенная тепловая мощность
$P(t) = RI^{2}(t)$.
На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что для поддержания неизменной скорости вращения рамки потери энергии, обусловленные выделением тепла, должны компенсироваться работой внешних сил
$\Delta A(t) = M(t) \omega \Delta t$.
Отсюда следует, что
$M(t) \omega = P(t) = \frac{(BNS \omega \sin \omega t)^{2} }{R}$
Учитывая, что среднее значение квадрата гармонической функции за период равно 0,5, а среднее значение момента сил, действующих на рамку, по условию равно $M_{ср}$, получаем
$B = \frac{ \sqrt{2RM_{ср} } }{NS \sqrt{ \omega } }$.