2021-06-14
В схеме, показанной на рисунке, все конденсаторы разряжены, а двойной ключ К находится в разомкнутом состоянии. Его перевели в положение 1, а затем, спустя достаточно большое время, в положение 2. Параметры элементов схемы даны на рисунке. Считая диоды идеальными, найдите заряд, который установится на конденсаторе емкостью $C_{2}$.
Решение:
После перевода ключа К в положение 1 конденсатор емкостью $C_{1}$ начинает заряжаться через диод $D_{1}$ и резистор $R$. К моменту перевода ключа в положение 2 заряд этого конденсатора станет равным $q_{11} = C_{1}E$. При этом конденсатор емкостью $C_{2}$ должен оставаться незаряженным, т.е. $q_{21} = 0$. После переключения ключа в положение 2 диод $D_{1}$ переходит в непроводящее состояние, а включенный последовательно с конденсаторами диод $D_{2}$ можно заменить проводником с нулевым сопротивлением. Если установившиеся напряжения на первом и втором конденсаторах после перевода ключа в положение 2 обозначить $U_{1}$ и $U_{2}$, а заряды этих конденсаторов $q_{12}$ и $q_{22}$, то можно записать $q_{12} = C_{1}U_{1}, q_{22} = C_{2}U_{2}$. По прошествии достаточно большого промежутка времени напряжение на резисторе $R$ должно стать равным нулю (конденсаторы полностью зарядились, и, следовательно, ток в цепи прекратился), поэтому сумма напряжений на конденсаторах будет равна ЭДС батареи $\mathcal{E}$. В то же время на основании закона сохранения заряда можно записать равенство $q_{12} - q_{22} = - q_{11}$. С учетом двух предыдущих соотношений последнее выражение эквивалентно уравнению
$( \mathcal{E} - U_{2})C_{1} - U_{2}C_{2} = - \mathcal{E}C_{1}$,
решая которое, определим искомым заряд конденсатора емкостью $C_{2}$:
$q_{22} = \frac{2C_{1}C_{2} \mathcal{E} }{C_{1} + C_{2} }$.