2021-06-14
Прямоугольный сосуд разделен на две равные части гладким толстым поршнем, ось которого горизонтальна. Левая часть сосуда длиной $L$ полностью заполнена ртутью, при этом ртуть практически не оказывает давления на верхнюю грань сосуда. В правой части сосуда находится воздух. Пренебрегая тепловым расширением сосуда, поршня и ртути, а также давлением насыщенных паров ртути, найдите перемещение поршня при медленном уменьшении абсолютной температуры сосуда с содержимым в $n = 1,5$ раза. Считать, что при конечной температуре ртуть остается жидкой.
Решение:
В исходном состоянии ртуть полностью заполняла левую часть сосуда, но не оказывала давления на его верхнюю грань. Значит, давление воздуха было равно
$p_{1} = \frac{ \rho gh}{2}$,
где $\rho$ - плотность ртути, a $h$ - высота поршня. Если высоту столба ртути при конечной температуре обозначить $h_{2}$, то давление воздуха в правой части сосуда должно удовлетворять соотношению
$p_{2}h = \frac{ \rho gh_{2}^{2} }{2}$.
Таким образом, для интересующего нас перемещения поршня $x$ можно записать равенство
$hL = h_{2} (L + x)$,
т.к. площадь поперечного сечения сосуда неизменна.
Для воздуха на основании объединенного газового закона получим
$p_{1}V_{1} = np_{2}V_{2}$, или $p_{1}L = np_{2} (L - x)$.
Для упрощения дальнейших вычислений обозначим $\frac{x}{L} = z$. Тогда из составленных ранее уравнений следует
$\frac{p_{1} }{p_{2} } = \frac{h^{2} }{h_{2}^{2} } = (1 + z)^{2} = (1 - z)n$.
Последнее соотношение эквивалентно уравнению
$z^{2} + (2 + n)z + 1 - n = 0$,
решая которое, найдем
$x = 0,5 ( \sqrt{n(n + 8)} - 2 - n )L \approx 0,14L$.