2021-06-14
В цилиндрическом сосуде с внутренним радиусом $R$, частично заполненном водой, плавает, выступая из воды на высоту $h$, однородное деревянное кольцо (рис.). Радиус отверстия в кольце $r$. В отверстие медленно налили столько масла, что его верхний уровень достиг верха кольца. В результате уровень воды вне кольца поднялся на некоторую высоту $x$. Найдите $x$, если плотность масла $\rho_{м}$ меньше плотности воды $\rho_{в}$, а плотность дерева $\rho_{д}$ больше плотности масла.
Решение:
Давление воды в любой нижней точке кольца должно быть ровно $\rho_{a} + \rho_{в} g(H - h)$, где $\rho_{a}$ - атмосферное давление, а $H$ - высота кольца. С другой стороны, это давление должно быть равно давлению, обусловленному действием сил тяжести кольца и давления воздуха на кольцо, т.е. должно выполняться соотношение $\rho_{a} + \rho_{в} g(H - h) = \rho_{a} + \rho_{д}gH$. Следовательно,
$\rho_{в} (H - h) = \rho_{д}H$.
При заливании масла в отверстие в кольце, поскольку плотность масла меньше плотности дерева, нижний уровень масла не может опуститься ниже горизонтальной плоскости, совпадающей с нижними точками кольца. Поэтому из отверстия в кольце масло вытеснит лишь часть воды, а толщина $h_{1}$ слоя воды, оставшейся внутри кольца, должна удовлетворять уравнению
$\rho_{в}(H - h) = \rho_{в}h_{1} + \rho_{м}(H - h_{1} )$.
При этом глубина погружения кольца в воду изменяться не может. Из сказанного ясно, что одновременно с увеличением объема залитого в кольцо масла уровень воды в сосуде и кольцо будут одновременно подниматься. Поэтому для искомой высоты подъема воды можно записать уравнение
$xR^{2} = (H - h - h_{1} )r^{2}$.
Решая совместно все полученные уравнения, определим искомую высоту подъема воды:
$x = \frac{hr^{2} \rho_{м} }{( \rho_{в} - \rho_{м} )R^{2} }$.