2021-06-14
На горизонтальной крышке стола лежит однородный куб массой $m$, к середине верхнего ребра которого прикреплена легкая нить. Коэффициент трения куба о крышку $\mu$, причем $\mu < 0,5$. С какой минимальной силой, направленной перпендикулярно указанному ребру, нужно тянуть за нить, чтобы куб начал поворачиваться без скольжения? Каково направление этой силы?
Решение:
Поскольку нить прикреплена к середине одного из верхних горизонтальных ребер и ее тянут перпендикулярно этому ребру, из соображений симметрии можно утверждать, что куб должен начать поворачиваться вокруг одного из нижних ребер, параллельных тому ребру, к середине которого прикреплена нить. На рисунке показаны сечения куба вертикальной плоскостью, в которой располагается нить; здесь же показаны силы, действующие на куб, когда за нить тянут вверх или вниз под углом $\alpha_{i}$ к горизонту с силой $F_{i}$ такой, что при ее незначительном увеличении куб начал бы поворачиваться. В первом случае угол наклона нити к горизонту $\alpha_{1}$ будем считать отрицательным, а во всех остальных - положительным. Поскольку куб является однородным, действующая на него сила тяжести $m \vec{g}$ приложена к центру куба. Результирующая сил реакции крышки, как это обычно и делают, изображена в виде двух составляющих: нормальной $\vec{N}_{i}$ и тангенциальной $\vec{F}_{трi}$. Точки приложения этих составляющих в первом и втором случаях обозначены на рисунке буквой $O_{1}$, а в третьем и четвертом - $O_{2}$.
Поскольку куб не должен скользить по крышке, согласно второму закону Ньютона должны выполняться равенства
$N_{i} - mg + F_{i} \sin \alpha_{i} = 0$,
$F_{трi} - F_{i} \cos \alpha_{i} = 0$,
где $? = 1, 2, 3, 4$. При этом
$F_{трi} \leq \mu N_{i}$,
Для того чтобы куб поворачивался относительно осей, проходящих через точки $O_{1}$ или $O_{2}$, алгебраическая сумма моментов сил в рассматриваемых случаях должна быть равна нулю:
$0,5amg - aF_{1} \cos \alpha_{1} = 0$,
$0,5amg - aF_{2} \cos \alpha_{2} = 0$,
$0,5amg - aF_{3} \sin \alpha_{3} + aF_{3} \cos \alpha_{3} = 0$,
$0,5amg - aF_{4} \sin \alpha_{4} - aF_{4} \cos \alpha_{4} = 0$,
где $a$ - ребро куба.
Из написанных уравие?шй следует, что величина силы натяжения нити в первом и втором случаях должна быть равна $F_{i} = \frac{mg}{2 \cos \alpha_{i} }$, причем $tg \alpha_{i} \leq \frac{1}{ \mu} - 2$. Поскольку по условию задачи $\mu < 0,5$, то $tg \alpha_{i} < 0$. Значит, второй случай при заданных условиях не реализуется, а в первом случае
$F_{1min} = 0,5 \sqrt{5 - \frac{4}{ \mu} + \frac{1}{ \mu^{2} } } mg$
В третьем случае
$F_{3} = \frac{mg}{2 ( \sin \alpha_{3} - \cos \alpha_{3} ) }$,
причем
$F_{3min} = \frac{mg}{2} < F_{1min}$,
и нить следует тянуть вертикально вверх.
Наконец, в четвергом случае
$F_{4} = \frac{mg}{2( \sin \alpha_{4} + \cos \alpha_{4} ) } = \frac{mg}{2 \sqrt{2} \sin \left ( \alpha_{4} + \frac{ \pi }{4} \right ) }$.
Поскольку максимального значения синус угла должает тогда, когда угол становится равным $\frac{ \pi}{2}$, то при $\alpha_{4} = \frac{ \pi }{4}$ искомая сила натяжения нити равна
$F_{4} \left ( \alpha_{4} = \frac{ \pi }{4} \right ) = \frac{mg}{2 \sqrt{2} }$.
Конечно, это утверждение будет верно, если $\frac{1}{3} \leq \mu$. Если же $0 \leq \mu \leq \frac{1}{3}$, то нить следует тянуть под углом $\alpha_{4} = arccos \frac{ \mu }{ \sqrt{ (1 - 2 \mu )^{2} + \mu^{2} } }$. При этом искомая сила натяжения нити должна быть равна
$F_{4} \left (0 \leq \mu \leq \frac{1}{3} \right ) = mg \frac{ \sqrt{(1 - 2 \mu)^{2} + \mu^{2} } }{2(1 - \mu)}$.