Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15226
2021-06-14 
Каков максимальный угол $\theta$ упругого рассеяния $\alpha$ - частицы в водороде? Масса атома водорода в 4 раза меньше массы $\alpha$-частицы.
Решение:
Первый способ решения.
Проанализируем упругое столкновение в лабораторной (неподвижной) системе отсчета. Введем обозначения: $m_{1}$ - масса $\alpha$ - частицы, $\vec{v}$ - ее скорость до рассеяния, $m_{2}$ - масса атома водорода, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости $\alpha$ - частицы и атома водорода, соответственно, после рассеяния.
Взаимодействие упругое; следовательно, сохраняются импульс (рис.) и кинетическая энергия системы $\alpha$ - частица - атом водорода:
$m_{1}v = m_{1}v_{1} \cos \delta + m_{2}v_{2} \cos \phi$,
$m_{1}v_{1} \sin \delta = m_{2}v_{2} \sin \phi$,
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$.
Исключив из этих соотношений угол $\phi$ и скорость $_{2}$, получим относительно $v_{1}$ квадратное уравнение
$(m_{1} + m_{2})v_{1}^{2} - 2m_{1}v \cos \delta \cdot v_{1} + (m_{1} - m_{2} )v^{2} = 0$.
Корни этого уравнения будут вещественными при $\sin \delta \leq \frac{m_{2}}{m_{1} }$. Максимальный угол $\delta$, удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол $\theta$. Таким образом,
$\theta = arcsin \frac{m_{2} }{m_{1} } \approx 0,25 рад$.
Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии, что масса налетающей частицы больше массы покоящейся.
Второй способ решения.
В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра масс сталкивающихся частиц (в системе, где их суммарный импульс равен нулю). Скорость центра масс нашей системы тел равна
$\vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v} }{m_{1} + m_{2}}$.
До столкновения импульс частицы массой $m_{1}$ равен
$\vec{p} = m_{1}( \vec{v} - \vec{V} ) = \frac{m_{1}m_{2} \vec{v} }{m_{1} + m_{2} } $,
а импульс частицы массой $m_{2}$ равен $- \vec{p}$.
При упругом столкновении импульс и энергия взаимодействующей системы тел сохраняются. Так что если импульс первой частицы после столкновения обозначить $\vec{p}_{\&}$, то импульс второй будет $- \vec{p}_{ \&}$. Из закона сохранения энергии, записанном в виде
$p^{2} \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) = p_{\&}^{2} \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right )$.
находим
$p = p_{\&}$.
Таким образом, единственное, что происходит в рассматриваемой системе при столкновении, это поворот импульсов частиц, т.е. изменение их направления без изменения величины. Вместе с импульсами так же изменяются и скорости обеих частиц. Угол поворота зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении.
При переходе в лабораторную систему отсчета воспользуемся правилом сложения скоростей. В соответствии с ним, скорость налетающей частицы после столкновения равна
$\vec{v}_{1} = \vec{V} + \vec{v}_{1\&}$,
где $\vec{v}_{1\&}$ - ее скорость в системе центра масс. На рисунке из одной точки отложены векторы $\vec{V}$ - скорость центра масс системы и $\vec{v}$ - скорость налетающей частицы до столкновения.
Величина
$v_{1\&} = \frac{m_{2}v }{m_{1} + m_{2} }$
определяет радиус окружности, на которой заканчивается вектор $\vec{v}_{1}$. Из рисунка следует, что в случае $m_{1} > m_{2}$ угол между векторами скоростей $\vec{v}$ и
$\vec{v}_{1}$ налетающей частицы до и после столкновения не может превышать некоторого максимального значения $\theta$, соответствующего случаю, когда касается окружности, т.е.
$\theta = arcsin \frac{v_{1\&} }{V} = \frac{m_{2} }{m_{1} } \approx 0,25 рад$.
Каков максимальный угол $\theta$ упругого рассеяния $\alpha$ - частицы в водороде? Масса атома водорода в 4 раза меньше массы $\alpha$-частицы.
Решение:
Первый способ решения.
Проанализируем упругое столкновение в лабораторной (неподвижной) системе отсчета. Введем обозначения: $m_{1}$ - масса $\alpha$ - частицы, $\vec{v}$ - ее скорость до рассеяния, $m_{2}$ - масса атома водорода, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ - скорости $\alpha$ - частицы и атома водорода, соответственно, после рассеяния.
Взаимодействие упругое; следовательно, сохраняются импульс (рис.) и кинетическая энергия системы $\alpha$ - частица - атом водорода:
$m_{1}v = m_{1}v_{1} \cos \delta + m_{2}v_{2} \cos \phi$,
$m_{1}v_{1} \sin \delta = m_{2}v_{2} \sin \phi$,
$\frac{m_{1}v^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}$.
Исключив из этих соотношений угол $\phi$ и скорость $_{2}$, получим относительно $v_{1}$ квадратное уравнение
$(m_{1} + m_{2})v_{1}^{2} - 2m_{1}v \cos \delta \cdot v_{1} + (m_{1} - m_{2} )v^{2} = 0$.
Корни этого уравнения будут вещественными при $\sin \delta \leq \frac{m_{2}}{m_{1} }$. Максимальный угол $\delta$, удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол $\theta$. Таким образом,
$\theta = arcsin \frac{m_{2} }{m_{1} } \approx 0,25 рад$.
Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии, что масса налетающей частицы больше массы покоящейся.
Второй способ решения.
В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра масс сталкивающихся частиц (в системе, где их суммарный импульс равен нулю). Скорость центра масс нашей системы тел равна
$\vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v} }{m_{1} + m_{2}}$.
До столкновения импульс частицы массой $m_{1}$ равен
$\vec{p} = m_{1}( \vec{v} - \vec{V} ) = \frac{m_{1}m_{2} \vec{v} }{m_{1} + m_{2} } $,
а импульс частицы массой $m_{2}$ равен $- \vec{p}$.
При упругом столкновении импульс и энергия взаимодействующей системы тел сохраняются. Так что если импульс первой частицы после столкновения обозначить $\vec{p}_{\&}$, то импульс второй будет $- \vec{p}_{ \&}$. Из закона сохранения энергии, записанном в виде
$p^{2} \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right ) = p_{\&}^{2} \left ( \frac{1}{m_{1} } + \frac{1}{m_{2} } \right )$.
находим
$p = p_{\&}$.
Таким образом, единственное, что происходит в рассматриваемой системе при столкновении, это поворот импульсов частиц, т.е. изменение их направления без изменения величины. Вместе с импульсами так же изменяются и скорости обеих частиц. Угол поворота зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении.
При переходе в лабораторную систему отсчета воспользуемся правилом сложения скоростей. В соответствии с ним, скорость налетающей частицы после столкновения равна
$\vec{v}_{1} = \vec{V} + \vec{v}_{1\&}$,
где $\vec{v}_{1\&}$ - ее скорость в системе центра масс. На рисунке из одной точки отложены векторы $\vec{V}$ - скорость центра масс системы и $\vec{v}$ - скорость налетающей частицы до столкновения.
Величина
$v_{1\&} = \frac{m_{2}v }{m_{1} + m_{2} }$
определяет радиус окружности, на которой заканчивается вектор $\vec{v}_{1}$. Из рисунка следует, что в случае $m_{1} > m_{2}$ угол между векторами скоростей $\vec{v}$ и
$\vec{v}_{1}$ налетающей частицы до и после столкновения не может превышать некоторого максимального значения $\theta$, соответствующего случаю, когда касается окружности, т.е.
$\theta = arcsin \frac{v_{1\&} }{V} = \frac{m_{2} }{m_{1} } \approx 0,25 рад$.
