2021-06-03
Два одинаковых проводящих диска радиусами $R$ вращаются с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ ($\omega_{1} > \omega_{2}$) в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной их плоскостям (рис.). Центры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью $C_{1}$, а ободы - через скользящие контакты к конденсатору емкостью $C_{2}$. Найдите напряжения, которые установятся на конденсаторах.
Решение:
Сначала рассмотрим, что происходит со свободными зарядами проводящего диска, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ (рис.). На электроны, вращающиеся вместе с диском, действует сила Лоренца. В нашем случае сила Лоренца, действующая на свободный электрон, направлена к центру диска, поэтому электроны смещаются к центру, а на периферии остаются положительно заряженные атомы (атомы без внешнего электрона). Перераспределение заряда приводит к появлению радиального электрического поля $\vec{E}$, направленного к центру. Устанавливается такое распределение зарядов и, соответственно, такое электрическое поле $E(r)$, что сила Лоренца, действующая на электрон, уравновешивается электростатической силой:
$e \omega rB = eE(r)$,
где $e$ - заряд электрона. Отсюда мы получаем распределение напряженности электрического поля по $r$:
$E(r) = \omega Br$.
Теперь мы можем найти разность потенциалов между центром диска и ободом, т.е. ЭДС индукции:
$E_{i} = \int_{0}^{R} E(r)dr = \omega B \int_{0}^{R} rdr = \frac{ \omega BR^{2} }{2}$.
В нашем случае для левого диска получим
$E_{i1} = \frac{ \omega_{1}BR^{2} }{2}$,
а для правого -
$E_{i2} = \frac{ \omega_{2}BR^{2} }{2}$.
Очевидно, что установившиеся заряды на конденсаторах будут равны по величине, но противоположны по знаку. Поскольку $E_{i1} > E_{i2}$ (так как $\omega_{1} > \omega_{2}$), то на левой пластине конденсатора емкостью $C_{2}$ будет «+», а на левой пластине конденсатора емкостью $C_{1}$ будет «-». Обозначим величину заряда на конденсаторах через $q$. По закону Ома для нашего замкнутого контура можно записать
$E_{i1} - E_{i2} = \frac{q}{C_{2} } + \frac{q}{C_{1} }$.
Отсюда находим
$q = \frac{(E_{i1} - E_{i2})C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2} } = \frac{BR^{2}( \omega_{1} - \omega_{2} )C_{1}C_{2} }{2(C_{1} + C_{2} )}$.
Напряжения, которые установятся на конденсаторах, будут равны
$U_{1} = \frac{q}{C_{1} } = \frac{BR^{2} ( \omega_{1} - \omega_{2}) C_{2}}{2(C_{1} + C_{2} )}$
и
$U_{2} = - \frac{q}{C_{2} } = \frac{BR^{2} ( \omega_{2} - \omega_{1} )C_{1} }{2(C_{1} + C_{2} )}$.