2021-06-03
Между двумя неподвижными плоскопараллельными незаряженными пластинами 1 и 2 (рис.), закороченными через резистор сопротивлением $R$, помещают аналогичную проводящую пластину 3 с положительным зарядом $q$ на расстоянии $a$ от пластины 2, причем $a < \frac{d}{2}$, где $d$ - расстояние между пластинами 1 и 2. После установления равновесного состояния пластину 3 быстро перемешают в симметричное положение (на расстоянии $a$ от пластины 1). Полагая, что за время перемещения пластины 3 заряд на пластинах 1 и 2 не успевает измениться, определите: 1) величину и направление тока через резистор сразу после перемещения пластины 3; 2) количество теплоты, выделившееся в резисторе после перемещения пластины. Площадь каждой пластины $S$, расстояние между пластинами мало по сравнению с линейными размерами пластин.
Решение:
1) Рассмотрим начальное равновесное состояние нашей системы, когда пластина 3 с зарядом $q$ находится у правой пластины конденсатора. После установления стационарного состояния ток через резистор равен нулю, а пластины 1 и 2 эквипотенциальны и, следовательно, разность потенциалов между ними также равна нулю. Пусть на правой обкладке конденсатора установится заряд $-q_{1}$, тогда на левой будет $+q_{2}$. Запишем условие эквипотенциальности обкладок:
$\frac{q_{1}d}{ \epsilon_{0}S } + \frac{qa}{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q(d - a)}{2 \epsilon_{0}S } = 0$.
Отсюда находим
$q_{1} = \frac{q(d - 2a)}{2d}$.
После перемещения пластины 3 разность потенциалов между пластинами 1 и 2 уже не будет равна нулю. Определим эту разность потенциалов:
$\Delta \phi_{12} = \frac{q_{1}d }{ \epsilon_{0}S } \frac{q(d - a)}{2 \epsilon_{0}S } - \frac{qa}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{q_{1}d }{ \epsilon_{0}S } + \frac{q(d - 2 a)}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{q(d - 2a)}{ \epsilon_{0}S }$.
Возникшая разность потенциалов приведет к появлению тока через резистор:
$I = \frac{ \Delta \phi_{12} }{R} = \frac{q(d - 2 a)}{ \epsilon_{0}SR }$,
причем ток будет течь от пластины 1 к пластине 2.
2) После перемещения пластины 3 будет происходить перезарядка пластин 1 и 2 до тех пор, пока они снова не станут эквипотенциальными. При этом в резисторе будет выделяться тепло. Поскольку начальная (до перемещения пластины 3) и конечная энергии электрического поля системы трех пластин равны, то суммарное количество теплоты, выделившееся в резисторе, будет равно работе, совершенной при перемещении пластины 3. Так как перемещение пластины 3 проводилось быстро, при сохранении зарядов на пластинах 1 и 2, можно считать, что перемещение пластины 3 происходило в постоянном электрическом поле с напряженностью
$E = \frac{q_{1} }{ \epsilon_{0}S } = \frac{q(d - 2a)}{2 \epsilon_{0}Sd }$.
Отсюда найдем совершенную работу, а следовательно, и выделившееся количество теплоты:
$Q = A = qE(d-2a) = \frac{q^{2}(d - 2a)^{2} }{2 \epsilon_{0}Sd }$.