2021-06-03
Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и полностью заполняет горизонтальное колено трубки (рис.). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление $p_{0}$, плотность масла $\rho$. Найдите: 1) давление масла в месте изгиба трубки; 2) давление масла у запаянного конца трубки.
Решение:
1) Давление масла $p_{1}$ в месте изгиба трубки находим из условия равновесия столба масла в вертикальной части трубки:
$p_{1} = p_{0} + \rho gH$,
где $g$ - ускорение свободного падения. Очевидно, что давление в месте изгиба не зависит от угловой скорости вращения платформы.
2) Другое дело, давление масла у запаянного конца трубки. Оно, безусловно, зависит от $\omega$. Для нахождения этого давления выделим бесконечно малый элемент масла длиной $dr$, находящийся на расстоянии $r$ от оси вращения (рис.). Обозначим давление в сечении трубки на расстоянии $r$ от оси вращения через $p$, а давление на расстоянии $r + dr$ - через $p + dp$. Сила, равная разности давлений $dp$ в этих двух сечениях, умноженной на площадь поперечного сечения трубки $S$, и направленная к оси вращения, создает в данном случае центростремительное ускорение, вынуждая элемент масла толщиной $dr$ вращаться по окружности радиусом $r$ с угловой скоростью $\omega$. Уравнение этого вращательного движения будет иметь вид
$\rho Sdr \omega^{2}r = Sdp$.
Возьмем от обеих частей этого уравнения определенные интегралы: по $r$ от $r = -L$ до $r = 2L$, а по $p$ от неизвестного давления у запаянного конца $p_{2}$ до давления в изгибе $p_{1}$:
$\rho \omega^{2} \int_{-L}^{2L} rdr = \int_{p_{2} }^{p_{1} } dp$.
Отсюда найдем
$p_{2} = p_{1} - \frac{3}{2} \rho \omega^{2} L^{2}$.
После подстановки выражения для $p_{1}$ получим
$p_{2} = p_{0} + \rho gH - \frac{3}{2} \rho \omega^{2}L^{2}$.