2021-06-03
На рисунке изображена тележка, которая может двигаться прямолинейно по горизонтальной поверхности стола без трения. К тележке прикреплена горизонтальная ось О, перпендикулярная плоскости рисунка. Вокруг оси О (в плоскости, перпендикулярной ей) может вращаться небольшой шарик массой $m$. Шарик укреплен на конце стержня длиной $L$. Масса тележки, оси О и ее крепления равна $4m$. Массами стержня и колес тележки пренебречь. Вначале тележка покоилась, а стержень удерживажя под углом $\beta = 30^{ \circ}$ к вертикали. Затем стержень отпустили. Найдите: 1) скорость тележки в момент прохождения шариком нижней точки своей траектории; 2) амплитуду колебаний тележки, т.е. половину расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями тележки.
Решение:
1) В момент прохождения шариком нижней точки своей траектории его скорость горизонтальна и направлена слева направо. Обозначим эту скорость через $v$. Очевидно, что скорость тележки направлена в противоположную сторону. Обозначим ее через $u$. Движение шарика, как и движение тележки, мы рассматриваем в неподвижной системе координат. По закону сохранения энергии можно записать
$mgL (1 + \cos \beta) = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{4mu^{2} }{2}$.
Здесь потенциальная энергия шарика отсчитывается от уровня, проходящего через нижнюю точку траектории шарика, поэтому в исходном положении шарик обладает только потенциальной энергией, а в нижней точке - только кинетической. Поскольку в горизонтальном направлении сумма действующих на систему тележка - шарик сил равна нулю, в любой момент времени импульс системы в горизонтальном направлении равен нулю:
$mv - 4mu = 0$.
Решая совместно систему двух уравнений, получим, что искомая скорость тележки равна
$u = \sqrt{ \frac{gL(1 + \cos \beta )}{10} } = 0,43 \sqrt{gL}$.
2) Так как горизонтальный импульс системы равен нулю, во время колебательных движений центр тяжести нашей системы остается неизменным. Удаление тележки от центра тяжести будет максимальным в тот момент, когда стержень находится в горизонтальном положении. Обозначим расстояние (по горизонтали) от центра тяжести системы до центра тележки через $a$, тогда расстояние от шарика до центра тяжести системы будет $L - a$. По правилу моментов можно записать
$mg (L- a) = 4ma$.
Отсюда амплитуда колебаний тележки будет равна
$a = \frac{L}{5}$.