2021-06-03
Мальчик смотрит на рыбку вдоль диаметра сферического аквариума (рис.).Ему навстречу плывет рыбка со скоростью $v$. Чему была равна скорость изображения рыбки, когда она пересекала центр аквариума? Показатель преломления воды $n$.
Решение:
Пусть в начальный момент времени рыбка находится в центре аквариума О и плывет направо (рис.). Через небольшое время $\Delta t$ она переместится в близкую к О точку А. Проведем радиус в произвольную точку С. Луч света, проведенный из точки А в точку С, попадет на границу раздела вода - воздух под углом падения $\alpha$. Следует сразу оговориться, что все углы, которые будут рассмотрены, малы, а следовательно, синусы и тангенсы углов можно заменять самими углами. Обозначим угол преломления через $\beta$, а мнимое изображение рыбки - точкой В. Из закона преломления света,
$\sin \beta = n \sin \alpha$, или $\beta = n \alpha$.
Из треугольника ОСВ по теореме синусов можно записать
$\frac{OB}{R} = \frac{ \beta }{ \beta + \gamma } = \frac{n \alpha }{n \alpha + \gamma }$.
Аналогично, по теореме синусов из треугольника ОСА следует
$\frac{OA}{R} = \frac{ \alpha }{ \alpha + \gamma }$.
Обозначим скорость изображения рыбки, когда она находится вблизи центра аквариума, через $u$. Тогда
$\frac{OB}{OA} = \frac{u \Delta t}{v \Delta t} = \frac{ \beta ( \alpha + \gamma )}{ \alpha ( \beta + \gamma )} = \frac{n( \alpha + \gamma )}{n \alpha + \gamma }$,
и
$u = v \frac{n( \alpha + \gamma ) }{n \alpha + \gamma }$.
Чтобы найти скорость изображения рыбки в момент, когда она находится строго в центре аквариума, нужно взять предел полученного выражения для и при стремлении а к нулю:
$u = lim_{ \alpha \rightarrow 0} \frac{vn( \alpha + \gamma ) }{n \alpha + \gamma } = vn$.