2021-06-03
Тонкий пучок света (луч) падает пертендику-лярно плоской поверхности оптически прозрачного полутора (рис.). Радиус шара $R$, расстояние от луча до оси $OO^{ \prime}$ равно $a = 0,6R$, показатель преломления материала шара $n = 4/3$. Найдите расстояние от центра шара (точка О) до точки пересечения луча, преломленного на сферической поверхности, с осью $OO^{ \prime}$ (точка А).
Решение:
Соединим центр полушара (точка О) с точкой пересечения луча со сферической поверхностью (точка В) (рис.). Угол $\alpha$ будет являться углом падения на границу раздела стекло - воздух. Углом преломления будет угол $\beta$ такой, что
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta } = \frac{1}{n}$.
Отсюда
$\sin \beta = n \sin \alpha$.
Как видно из рисунка,
$\gamma = \beta - \alpha$,
$OC = \sqrt{R^{2} - a^{2}}$,
$CA = \frac{a}{tg ( \beta - \alpha ) }$.
Тогда расстояние от точки О до точки А будет равно
$OA = OC + CA = \sqrt{R^{2} - a^{2}} + \frac{a}{tg ( \beta - \alpha ) }$.
Найдем $tg ( \beta - \alpha )$:
$tg( \beta - \alpha ) = \frac{tg \beta - tg \alpha }{1 + tg \beta tg \alpha }$.
Займемся вычнсленнем тангенсов углов $\alpha, \beta$ и $\beta - \alpha$:
$\sin \alpha = \frac{a}{R}, tg \alpha = \frac{a}{ \sqrt{R^{2} - a^{2} } } = \frac{3}{4}$,
$\sin \beta = \frac{an}{R}, tg \beta = \frac{an}{ \sqrt{R^{2} - (an)^{2} } } = \frac{4}{3}$,
$tg( \beta - \alpha ) = \frac{7}{24}$.
После подстановки числовых значений в выражение для ОА получим
$OA = \frac{20}{7}R$.