2021-06-03
Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием (рис.) индуктивность катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину $\Delta L$ ( $\Delta L \ll L$) каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, быстро воз вращают в исходное состояние. Определите величину $\Delta L$, если $L = 0,15 Гн, C = 1,5 \cdot 10^{-7} Ф, R = 20 Ом$.
Решение:
Если изменение индуктивности катушки происходит за малое время (по сравнению с периодом колебаний тока в контуре), то сохраняется магнитный поток $\Phi$, пронизывающий катушку. Увеличение индуктивности при нулевом токе в цепи не приводит к изменению тока - он остается нулевым. Сохраняется и энергия контура. Через четверть периода ток в контуре достигает максимального значения. Обозначим величину этого тока через $I_{m}$. Энергию магнитного поля катушки выразим через поток $\Phi$ ($\Phi = LI$):
$W_{L} = \frac{1}{2} \frac{ \Phi^{2} }{L}$.
Поскольку $\Phi = const$, при малом изменении индуктивности изменение энергии катушки можно записать в виде
$\Delta W_{L} = - \frac{ \Phi^{2} \Delta L }{2L^{2} } = - \frac{I_{m}^{2} \Delta L }{2}$.
Видно, что уменьшение индуктивности приводит к росту энергии магнитного поля. Подкачка энергии в контур будет происходить через временные отрезки, равные половине периода колебаний, т.е. через $\frac{T}{2} = \po \sqrt{LC}$. Между двумя соседними подкачками энергия колебательного контура будет уменьшаться за счет тепловых потерь в резисторе. Эти потери за время $\frac{T}{2}$ можно оценить как
$\Delta W_{R} = \frac{1}{2} I_{m}^{2} R \pi \sqrt{LC}$.
Для поддержания незатухающих колебаний необходимо, чтобы поступающая энергия в контур была больше или равна тепловым потерям:
$| \Delta W_{L} | \geq \Delta W_{R}$,
или
$\frac{I_{m}^{2} \Delta L }{2} \geq \frac{I_{m}^{2} R \pi \sqrt{LC} }{2}$.
Отсюда получаем
$\Delta L \geq \pi R \sqrt{LC} \approx 9,4 \cdot 10^{-3} Гн$