2021-06-03
В схеме на рисунке в начальный момент ключ К разомкнут. Катушка индуктивностью $L$ обладает оми ческим сопротивлением $r$. Какой заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны на рисунке.
Решение:
Пусть в произвольный момент времени в элементах цепи текут токи, изображенные на рисунке. Через резисторы сопротивлением $R$ в любой момент будут протекать одинаковые токи $I_{R}$ - это следует из закона Ома для контура ABDC. Через перемычку АВ протекает ток $I_{п}$, через катушку индуктивности течет ток $I_{L}$, а через резистор $r$ - ток $I_{r}$. Для узлов А и В можно записать закон сохранения заряда:
$I_{п} + I_{L} = I_{R}$
и
$I_{r} = I_{R} + I_{п}$.
Для контура ABNM можно записать закон Ома:
$L \frac{dI_{L} }{dt} = r(I_{r} -I_{L}$,
или, воспользовавшись соотношениями для токов,
$L \frac{dI_{L} }{dt} = 2rI_{п}$.
Перепишем это уравнение в виде
$LdI_{L} = 2r I_{п} \cdot dt = 2r \cdot dq$
и проинтегрируем:
$\int_{0}^{Q} dq = \frac{L}{2r} \int_{0}^{I_{L_{к} } } dI_{L}$.
Сразу после замыкания ключа ток через катушку индуктивности равен нулю. Поэтому нижний предел интеграла в правой части уравнения также равен нулю. Найдем верхний предел $I_{L_{к}}$, т.е. установившийся через катушку ток. Очевидно, что он будет равен
$I_{L_{к} } = \frac{ \mathcal{E} }{R + r}$.
После интегрирования получим суммарный заряд, протекший через перемычку АВ:
$Q = \frac{LI_{L_{к} } }{2r} = \frac{L \mathcal{E} }{2r(R + r) }$.