Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1521
2016-12-11 
Найти плотность электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля вблизи поверхности Земли равна $E_{1} = 100 \frac{В}{м}$, а на высоте 1,5 км — $E_{2} = 25 \frac{В}{м}$. Считать, что плотность зарядов атмосферы постоянна, Земля имеет форму шара, а атмосфера — шарового слоя.
Решение:
Воспользуемся принципом суперпозиции для вычисления поля вблизи поверхности Земли:
$E_{1} = E_{1з} + E_{1ат}$, (1)
где $E_{1з}$ — поле, создаваемое зарядами на поверхности Земли, $E_{1ат}$ — зарядами атмосферы. Обозначая заряд и радиус Земли через $Q$ и $R$ соответственно, имеем:
$E_{1з} = \frac{kQ}{R^{2}}$. (2)
Для вычисления $E_{1ат}$ разобьем атмосферу на тонкие шаровые слои. Поскольку поле зарядов слоя внутри его равно нулю,
$\vec{E}_{1ат} = 0$. (3)
Принцип суперпозиции в точке 2 дает:
$\vec{E}_{2} = \vec{E}_{2з} + \vec{E}_{2ат}$. (4)
Поле $E_{2з}$, создаваемое зарядами Земли в точке 2 равно:
$E_{2з} = \frac{kQ}{(R+h)^{2}}$. (5)
Для вычисления $E_{2ат}$ разобьем атмосферу на тонкие слои. При этом вклад шаровых слоев, лежащих выше точки 2, равен пулю (см. выше), а вклад слоев, лежащих ниже точки 2, равен $\frac{kq}{(R+h)^{2}}$, где $q$ — заряд шарового слоя между точками 1 и 2. Таким образом:
$E_{2ат} = \frac{kq}{(R+h)^{2}}$. (6)
Запишем определение плотности зарядов для шарового слоя между 1 и 2:
$\rho = \frac{q}{V}$, (7)
где объем $V$ шарового слоя:
$V = \frac{4}{3} \pi (R+h)^{3} - \frac{4}{3} \pi R^{3} \approx 4 \pi R^{2} h$ (8)
(учтено, что $h \ll R$).
Проецируя (1) и (4) на радиальную ось, совпадающую с направлениями векторов $E_{1}$ и $E_{2}$, и используя другие полученные соотношения, находим:
$\rho = \frac{E_{1} - E_{2}}{4 \pi kh} = 4,4 \cdot 10^{-13} \frac{Кл}{м^{3}}$.
Найти плотность электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля вблизи поверхности Земли равна $E_{1} = 100 \frac{В}{м}$, а на высоте 1,5 км — $E_{2} = 25 \frac{В}{м}$. Считать, что плотность зарядов атмосферы постоянна, Земля имеет форму шара, а атмосфера — шарового слоя.
Решение:
Воспользуемся принципом суперпозиции для вычисления поля вблизи поверхности Земли:
$E_{1} = E_{1з} + E_{1ат}$, (1)
где $E_{1з}$ — поле, создаваемое зарядами на поверхности Земли, $E_{1ат}$ — зарядами атмосферы. Обозначая заряд и радиус Земли через $Q$ и $R$ соответственно, имеем:
$E_{1з} = \frac{kQ}{R^{2}}$. (2)
Для вычисления $E_{1ат}$ разобьем атмосферу на тонкие шаровые слои. Поскольку поле зарядов слоя внутри его равно нулю,
$\vec{E}_{1ат} = 0$. (3)
Принцип суперпозиции в точке 2 дает:
$\vec{E}_{2} = \vec{E}_{2з} + \vec{E}_{2ат}$. (4)
Поле $E_{2з}$, создаваемое зарядами Земли в точке 2 равно:
$E_{2з} = \frac{kQ}{(R+h)^{2}}$. (5)
Для вычисления $E_{2ат}$ разобьем атмосферу на тонкие слои. При этом вклад шаровых слоев, лежащих выше точки 2, равен пулю (см. выше), а вклад слоев, лежащих ниже точки 2, равен $\frac{kq}{(R+h)^{2}}$, где $q$ — заряд шарового слоя между точками 1 и 2. Таким образом:
$E_{2ат} = \frac{kq}{(R+h)^{2}}$. (6)
Запишем определение плотности зарядов для шарового слоя между 1 и 2:
$\rho = \frac{q}{V}$, (7)
где объем $V$ шарового слоя:
$V = \frac{4}{3} \pi (R+h)^{3} - \frac{4}{3} \pi R^{3} \approx 4 \pi R^{2} h$ (8)
(учтено, что $h \ll R$).
Проецируя (1) и (4) на радиальную ось, совпадающую с направлениями векторов $E_{1}$ и $E_{2}$, и используя другие полученные соотношения, находим:
$\rho = \frac{E_{1} - E_{2}}{4 \pi kh} = 4,4 \cdot 10^{-13} \frac{Кл}{м^{3}}$.
