Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15208
2021-06-03 
В схеме, изображенной на рисунке, катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ К разомкнут, а конден сатор емкостью $C$ заряжен до напряжения $U_{0}$. Через некоторое время после замыкания ключа напряжение на конденсаторе становится равным нулю. Найдите ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ в этот момент времени. Затем конденсатор перезаряжается до некоторого максимального напряжения. Чему будет равно это напряжение?
Решение:
После замыкания ключа К мы будем иметь колебательный контур, состоящий из заряженного конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L_{1}$. Конденсатор начнет разряжаться, и когда напряжение на нем станет нулевым, начальная энергия конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки. Если в этот момент ток через катушку равен $I_{L}$, то можно записать
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{L_{1}I_{L}^{2} }{2}$.
Отсюда находим искомый ток:
$I_{L} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$.
Это - максимальный ток через катушку индуктивностью $L_{1}$, затем он начнет уменьшаться, при этом часть его будет перезаряжать конденсатор, а часть потечет через катушку индуктивностью $L_{2}$. Пусть в некоторый момент через первую катушку течет ток $I_{1}$, а через вторую - ток $I_{2}$. Тогда по закону Ома для контура, охватывающего обе катушки, можно записать
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} + L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1} I_{1} + L_{2}I_{2} = const$.
Константу найдем из начальных условий. В тот момент, когда ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ был максимален и равен $U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} }}$, ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ был равен нулю, следовательно,
$const = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$.
Тогда решение принимает вид
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$.
Когда напряжение на конденсаторе достигнет максимального значения, ток через конденсатор будет равен нулю, а через катушки будет течь общий ток, который обозначим через $I_{12}$. Используя предыдущее соотношение, можно записать
$(L_{1} + L_{2}) I_{12} = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$,
откуда
$I_{12} = \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C }}{L_{1} + L_{2} }$.
Пусть максимальное напряжение на конденсаторе равно $U{m}$. Поскольку в нашей цепи нет тепловых потерь, для любого момента времени мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Полная энергия цепи, очевидно, равна $\frac{CU_{0}^{2}}{2}$. В тот момент, когда конденсатор перезарядится и напряжение на нем достигнет максимального значения, часть энергии будет сосредоточена в конденсаторе:
$W_{C} = \frac{1}{2} CU_{m}^{2}$,
а остальная часть - в катушках индуктивности:
$W_{L} = \frac{1}{2}(L_{1} + L_{2})I_{12}^{2} = \frac{1}{2} \frac{L_{1}CU_{0}^{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
По закону сохранения энергии,
$\frac{1}{2} CU_{0}^{2} = \frac{1}{2} CU_{m}^{2} + \frac{1}{2} \frac{L_{1}CU_{0}^{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
Отсюда получаем
$U_{m} = U_{0} \sqrt{ \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } }$.
В схеме, изображенной на рисунке, катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ К разомкнут, а конден сатор емкостью $C$ заряжен до напряжения $U_{0}$. Через некоторое время после замыкания ключа напряжение на конденсаторе становится равным нулю. Найдите ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ в этот момент времени. Затем конденсатор перезаряжается до некоторого максимального напряжения. Чему будет равно это напряжение?
Решение:
После замыкания ключа К мы будем иметь колебательный контур, состоящий из заряженного конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L_{1}$. Конденсатор начнет разряжаться, и когда напряжение на нем станет нулевым, начальная энергия конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки. Если в этот момент ток через катушку равен $I_{L}$, то можно записать
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{L_{1}I_{L}^{2} }{2}$.
Отсюда находим искомый ток:
$I_{L} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$.
Это - максимальный ток через катушку индуктивностью $L_{1}$, затем он начнет уменьшаться, при этом часть его будет перезаряжать конденсатор, а часть потечет через катушку индуктивностью $L_{2}$. Пусть в некоторый момент через первую катушку течет ток $I_{1}$, а через вторую - ток $I_{2}$. Тогда по закону Ома для контура, охватывающего обе катушки, можно записать
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} + L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1} I_{1} + L_{2}I_{2} = const$.
Константу найдем из начальных условий. В тот момент, когда ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ был максимален и равен $U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} }}$, ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ был равен нулю, следовательно,
$const = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$.
Тогда решение принимает вид
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$.
Когда напряжение на конденсаторе достигнет максимального значения, ток через конденсатор будет равен нулю, а через катушки будет течь общий ток, который обозначим через $I_{12}$. Используя предыдущее соотношение, можно записать
$(L_{1} + L_{2}) I_{12} = U_{0} \sqrt{L_{1}C }$,
откуда
$I_{12} = \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C }}{L_{1} + L_{2} }$.
Пусть максимальное напряжение на конденсаторе равно $U{m}$. Поскольку в нашей цепи нет тепловых потерь, для любого момента времени мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Полная энергия цепи, очевидно, равна $\frac{CU_{0}^{2}}{2}$. В тот момент, когда конденсатор перезарядится и напряжение на нем достигнет максимального значения, часть энергии будет сосредоточена в конденсаторе:
$W_{C} = \frac{1}{2} CU_{m}^{2}$,
а остальная часть - в катушках индуктивности:
$W_{L} = \frac{1}{2}(L_{1} + L_{2})I_{12}^{2} = \frac{1}{2} \frac{L_{1}CU_{0}^{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
По закону сохранения энергии,
$\frac{1}{2} CU_{0}^{2} = \frac{1}{2} CU_{m}^{2} + \frac{1}{2} \frac{L_{1}CU_{0}^{2} }{L_{1} + L_{2} }$.
Отсюда получаем
$U_{m} = U_{0} \sqrt{ \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } }$.
