2021-06-03
Докажем, что время распространения света через выпуклую сферическую поверхность раздела двух сред $KCL$ (рис.) из точки $A$ в точку $B$, находящуюся за действительным изображением $F$ точки $A$, максимально на такой траектории $ACB$, для которого выполняется закон преломления $\frac{sin \alpha}{ \sin \beta } = \frac{v_{1} }{v_{2} } = const$.
Решение:
В однородной среде свет распространяется по прямой линии, поэтому любая возможная траектория должна быть составлена из отрезков прямых. Построим наряду с реальной траекторией $ACFB$ возможную окольную траекторию $AC^{ \prime}B$ (рис.). Обе траектории выходят из одной и той же точки $A$ и кончаются в одной и той же точке $B$. Докажем, что время распространения света вдоль истинной траектории будет больше, т.е. что
$t_{ACB} > t_{AC^{ \prime}B}$.
Проведем малую дугу с центром в точке $F$ и радиусом $FB$, она пересечет прямую $AOF$ в точке $B^{ \prime}$. Проведем большую дугу с центром в точке $C^{ \prime}$ и радиусом $C^{ \prime}B^{ \prime}$, она пересечет прямую $C^{ \prime}B$ на ее продолжении в точке $D$, а точка $B$ окажется выше. Поскольку $F$ - действительное изображение, то
$t_{ACF} = t_{AC^{ \prime}F}$.
Так как $FB = FB^{ \prime}$ и среда однородная, то
$t_{FB} = t_{FB^{ \prime} }$.
Из-за того что $C^{ \prime}D = C^{ \prime}B^{ \prime }$ и среда однородная,
$t_{AC^{ \prime}D} = t_{AC^{ \prime}B^{ \prime} }$.
Поскольку точка $B$ находится внутри, то
$t_{AC^{ \prime}B} < t_{AC^{ \prime}D}$.
Итак, получаем, что
$t_{AC^{ \prime}B} < t_{AC^{ \prime}B^{ \prime}}$.
Слева стоит время возможной траектории. Покажем, что справа стоит время истинной траектории. Действительно,
$t_{AC^{ \prime}B^{ \prime}} = t_{AC^{ \prime}F} + t_{FB^{ \prime} } = t_{ACF} + t_{FB} = t_{ACFB} = t_{ACB}$.
Следовательно,
$t_{AC^{ \prime} B} < t_{ACB}$,
что и требовалось доказать.
Таким образом, при преломлении на выпуклой сферической поверхности на пути от $A$ (в среде 1) к $B$ (в среде 2 за фокусом $F$) время прохождения света по истинной траектории (т.е. с соблюдением закона преломления) будет максимальным по сравнению со временем по другим окольным траекториям.
Заметим, что при преломлении света, как и при отражении, важна стационарность. Время может быть минимальным (если точка $B$ находится ближе действительного изображения точки $A$ в точке $F$), может быть максимальным (если точка $B$ дальше точки $F$), а может не быть ни минимальным, ни максимальным (если $B$ находится в точке $F$).