2021-06-03
Пусть точка $B$ - действительное изображение ( $B \equiv F$ ) точки $A$ при преломлении пучка света на выпуклой сферической поверхности $KCL$ (рис.). Докажем, что время распространения света между фиксированными точками $A$ и $B$ по двум путям $ACB$ и $AC^{ \prime} B$ одинаково. Предполагается, что углы $\alpha$ и $\beta$ малые.
Решение:
Обозначим (рис.) $\angle CAC^{ \prime } = \gamma, \angle CBC^{ \prime } = \delta, AC^{ \prime} = s, C^{ \prime }B = s^{ \prime}$. Тогда
$t_{AC^{ \prime} B} = \frac{AC^{ \prime } }{v_{1} } + \frac{C^{ \prime }B }{v_{2} } = \frac{s}{v_{1} } + \frac{s^{ \prime } }{v_{2} }$
и
$t_{ACB} = \frac{AC}{v_{1} } + \frac{CB}{v_{2} } = \frac{AC^{ \prime} }{ \cos \gamma } \frac{1}{v_{1} } + \frac{C^{ \prime }B }{ \cos \delta } \frac{1}{v_{2} } = \frac{s}{ v_{1} \left (1 - \frac{ \gamma^{2} }{2} \right ) } + \frac{s^{ \prime } }{v_{2} \left (1 - \frac{ \delta^{2} }{2} \right ) } = \frac{s}{v_{1} } \left ( 1 + \frac{ \gamma^{2} }{2} \right ) + \frac{s^{ \prime } }{v_{2} } \left ( 1 + \frac{ \delta^{2} }{2} \right )$.
если учесть параксиальность пучка лучей, т.е. малость углов $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$. А если пренебречь членами второго порядка малости по сравнению с членами первого порядка, то получим
$t_{ACB} = \frac{s}{v_{1} } + \frac{s^{ \prime } }{v_{2} } = t_{AC^{ \prime}B }$,
что и требовалось доказать.