2021-06-03
а) Докажем, что время распространения света через плоскую границу раздела двух сред из точки А (в среде, где скорость света $v_{1}$) в точку В (где его скорость $v_{2}$) минимально на такой траектории $ACB$ (рис.), для которой выполняется закон преломления $\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta } = \frac{v_{1} }{v_{2} } = const$. б) Выведем закон преломления света, исходя из того, что время его распространения между фиксированными точками $A$ и $B$ при преломлении на плоской границе раздела будет минимальным.
Решение:
а) Построим круг произвольного радиуса (рис.). Изобразим его диаметр $MN$, разделяющий две среды: сверху находится оптически менее плотная среда, снизу - более плотная ( $v_{1} > v_{2}$ ). Отметим наши точки $A$ и $B$ и проведем две ломаные: через центр $C$ круга, при этом $\alpha$ и $\beta$ - углы падения и преломления света - связаны соотношением
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta } = \frac{v_{1} }{v_{2} } = const$,
и через произвольную точку $C^{ \prime}$. Надо доказать, что время прохождения светом пути $ACB$ меньше времени прохождения пути $AC^{ \prime}B$.
б) Пусть точка $C$ является подвижной точкой, при движении которой вдоль плоской границы раздела двух сред меняется время перехода из точки $A$ в точку $B$ (рис.). Из рисунка находим
$t_{ACB} = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{v_{1} } + \frac{CB}{v_{1} } = \frac{ \sqrt{x^{2} + h_{1}^{2} } }{v_{1} } + \frac{ \sqrt{(d - x)^{2} + h_{2}^{2} } }{v_{2} }$.
Необходимое условие минимума (стационарности) запишем в виде
$\frac{dt}{dx} = 0$,
откуда получим
$\frac{x}{v_{1} \sqrt{x^{2} + h_{1}^{2} } } - \frac{d-x}{ v_{2} \sqrt{ (d - x)^{2} + h_{2}^{2} } } = 0$,
или
$\frac{x}{v_{1}l_{1} } - \frac{d - x}{v_{2}l_{2} } = 0$.
Так как
$\frac{x}{l_{1} } = \sin \alpha$ и $\frac{d - x}{l_{2} } = \sin \beta$,
то
$\frac{ \sin \alpha }{ \sin \beta } = \frac{v_{1} }{v_{2} }$,
что и требовалось доказать.
Далее, стационарность решения означает действительно минимум:
$\frac{d^{2}t}{dx^{2} } = \frac{1}{ v_{1} \sqrt{x^{2} + h_{1}^{2} } } - \frac{x^{2} }{ v_{1} (x^{2} + h_{1}^{2} )^{3/2} } + \frac{1}{v_{2} \sqrt{(d - x)^{2} + h_{2}^{2} } } - \frac{(d - x)^{2} }{v_{2} ((d - x)^{2} + h_{2}^{2} )^{3/2} } = \frac{1}{v_{1}l_{1} } - \frac{1}{v_{1}l_{1} } \sin^{2} \alpha + \frac{1}{v_{2}l_{2} } - \frac{1}{v_{2}l_{2} } \sin^{2} \beta = \frac{1}{v_{1}l_{1} } \cos^{2} \alpha + \frac{1}{v_{2}l_{2} } \cos^{2} \beta$.
Так как все слагаемые положительные, то $\frac{d^{2}t }{dx^{2} } > 0$, и это соответствует минимуму.