Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15203
2021-06-03 
Докажем, что при отражении от вогнутой эллипсоидной поверхности выполняется закон отражения $\alpha = \beta$ при переходе света из фокуса А эллипса к фокусу В (рис.; точка С может быть выбрана произвольно, CN - перпендикуляр к касательной в точке отражения; заслонка D исключает прямое попадание света из А в В). Реализуется ли условие экстремума в этом случае?
Решение:
Опустим из точки А перпендикуляр на касательную и продолжим его на расстояние $LA^{ \prime } = AL$ (рис.). Соединим произвольную точку эллипса Е с точкой $A^{ \prime}$. Треугольник $ALE$ равен треугольнику $A^{ \prime}LE$ (как два прямоугольных треугольника с равными катетами), отсюда $\alpha = \alpha^{ \prime}$ и $A^{ \prime}E = AE$. Тогда
$l_{A^{ \prime}EB } = l_{AEB} = 2a$,
где $a$ - большая полуось эллипса. Ломаная линия $AEB$, соединяющая точки А и В через точку касания Е, является кратчайшей линией, т.е. $l_{AEB} < l_{AE^{ \prime} B}$, поэтому также линия $A^{ \prime}EB$ является кратчайшей, соединяющей точки $A^{ \prime}$ и $B$. А такой линией является прямая. На основе теоремы о накрест лежащих углах получаем $\alpha^{ \prime } = \beta$, но $\alpha^{ \prime } = \alpha$, отсюда $\alpha = \beta$, а также
$\gamma = \delta$
- угол падения равен углу отражения.
Поскольку условие эллипса $r_{1} + r_{2} = AE + EB = 2a = const$ выполняется для всех его точек, то
$l_{AEB} = l_{ACB} = const$,
значит, в данном случае не существует экстремума.
Подведем некоторый итог. Во всех трех примерах общим требованием для выполнения закона отражения света является равенство нулю первой производной длины траектории луча по отклонению от истинной траектории в ту или иную сторону. Это отклонение может быть выражено углом поворота (задача 15202) или смещением точки падения луча вдоль отражающей поверхности (задачи 15201 и 15203). Условие это называется условием стационарности. При этом может быть или минимум, или максимум, или не быть ни того ни другого.
Докажем, что при отражении от вогнутой эллипсоидной поверхности выполняется закон отражения $\alpha = \beta$ при переходе света из фокуса А эллипса к фокусу В (рис.; точка С может быть выбрана произвольно, CN - перпендикуляр к касательной в точке отражения; заслонка D исключает прямое попадание света из А в В). Реализуется ли условие экстремума в этом случае?
Решение:
Опустим из точки А перпендикуляр на касательную и продолжим его на расстояние $LA^{ \prime } = AL$ (рис.). Соединим произвольную точку эллипса Е с точкой $A^{ \prime}$. Треугольник $ALE$ равен треугольнику $A^{ \prime}LE$ (как два прямоугольных треугольника с равными катетами), отсюда $\alpha = \alpha^{ \prime}$ и $A^{ \prime}E = AE$. Тогда
$l_{A^{ \prime}EB } = l_{AEB} = 2a$,
где $a$ - большая полуось эллипса. Ломаная линия $AEB$, соединяющая точки А и В через точку касания Е, является кратчайшей линией, т.е. $l_{AEB} < l_{AE^{ \prime} B}$, поэтому также линия $A^{ \prime}EB$ является кратчайшей, соединяющей точки $A^{ \prime}$ и $B$. А такой линией является прямая. На основе теоремы о накрест лежащих углах получаем $\alpha^{ \prime } = \beta$, но $\alpha^{ \prime } = \alpha$, отсюда $\alpha = \beta$, а также
$\gamma = \delta$
- угол падения равен углу отражения.
Поскольку условие эллипса $r_{1} + r_{2} = AE + EB = 2a = const$ выполняется для всех его точек, то
$l_{AEB} = l_{ACB} = const$,
значит, в данном случае не существует экстремума.
Подведем некоторый итог. Во всех трех примерах общим требованием для выполнения закона отражения света является равенство нулю первой производной длины траектории луча по отклонению от истинной траектории в ту или иную сторону. Это отклонение может быть выражено углом поворота (задача 15202) или смещением точки падения луча вдоль отражающей поверхности (задачи 15201 и 15203). Условие это называется условием стационарности. При этом может быть или минимум, или максимум, или не быть ни того ни другого.
