2021-06-03
Пусть свет отражается от вогнутого сферического зеркала, выполненного в виде полусферы радиусом $R$. Выведем закон отражения света для этого случая при условии, что свет, распространяясь от точки А к точке В, выбирает экстремальную по длине траекторию (рис.; заслонка D исключает прямое попадание света из А в В). Исследуем характер этого экстремума.
Решение:
Согласно рисунку,
$l_{AEB} = l_{AE} + l_{EB} = 2R \cos \phi + 2 R \sin \phi$,
т.е. искомая длина является функцией угла $\phi$. Условие экстремума реализуется при
$\frac{dl_{AEB} }{d \phi } = 0$,
или
$\frac{d}{d \phi } (2R \cos \phi + 2 R \sin \phi ) = 2R( - \sin \phi + \cos \phi ) = 0$,
откуда получаем
$\sin \phi = \cos \phi$, и $\phi = 45^{ \circ}$.
Это означает, что точка Е при истинной траектории должна находиться посередине дуги АЕВ, т.е. в точке С, при этом $\alpha = \beta$.
Теперь исследуем характер экстремума. Возьмем вторую производную от искомой длины по углу:
$\left | \frac{d^{2} l_{AEB}}{d \phi^{2} } \right |_{ \phi = 45^{ \circ} } = 2R( - \cos 45^{ \circ} - \sin 45^{ \circ} ) = - 2 \sqrt{2} R < 0$.
Отрицательный знак второй производной показывает наличие максимума - свет выбирает наидлиннейшую из возможных траекторий:
$l_{ACB} > l_{AEB}$.