2021-06-03
В плоский конденсатор с расстоянием между пластинами $d$ вставлена металлическая пластина толщиной $d/2$. Площадь боковой поверхности пластины равна площади обкладок конденсатора. Конденсатор подключен к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$ (рис.). Найдите и изобразите на рисунке распределение потенциала внутри конденсатора, принимая за нулевой уровень потенциала: а) бесконечность; б)левую обкладку конденсатора.
Решение:
Сначала разберем первый случай, когда за нулевой уровень отсчета принимается бесконечность.
Найдем распределение напряженности электрического поля внутри конденсатора. Очевидно, что поле в металлической пластине отсутствует, а в зазорах между пластиной и обкладками конденсатора оно однородно и его напряженность равна $E = - \frac{2 \mathcal{E}}{d}$. Плоскость $x = \frac{d}{2}$, проходящая через середину конденсатора, является поверхностью нулевого потенциала. Дело в том, что все силовые линии как внутри конденсатора, так и вне пересекают эту плоскость под прямым углом, и, следовательно, при перемещении заряда по этой поверхности работа не совершается. Таким образом, мы имеем реперную точку: при $x = \frac{d}{2} \: \phi = 0$.
Разобьем расстояние между пластинами конденсатора на три участка: $0 \leq x \leq \frac{d}{4}; \frac{d}{4} \leq x \leq \frac{3d}{4}; \frac{3d}{4} \leq x \leq d$. Рассмотрим первый участок. На этом участке $E = - \frac{2 \mathcal{E}}{d}$. Воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом:
$E = - \frac{d \phi }{dx}$,
откуда
$d \phi = \frac{2 \mathcal{E} }{d} dx$.
После интегрирования получим
$\phi = \frac{2 \mathcal{E} }{d}x + const$.
Для определения константы воспользуемся тем фактом, что потенциал всей пластины равен нулю, и, следовательно, $\phi = 0$ при $x = \frac{d}{4}$. Тогда получим, что константа будет равна $- \frac{ \mathcal{E}}{2}$, и наше распределение на первом участке будет иметь вид
$\phi(x) = \mathcal{E} \left ( \frac{2x}{d} - \frac{1}{2} \right )$.
Для второго интервала $\frac{d}{4} \leq x \leq \frac{3d}{4}$ напряженность поля равна нулю (поле внутри пластины отсутствует), следовательно, $\phi(x) = const$. Но поскольку при $x = \frac{d}{2} \: \phi = 0$, то и константа равна нулю. Значит, на втором отрезке
$\phi(x) = 0$.
Теперь рассмотрим третий участок $\frac{3d}{4} \leq x \leq d$. На этом участке, как и на первом, $E = - \frac{2 \mathcal{E}}{d}$, а
$\phi (x) = \frac{2 \mathcal{E}}{d} x + const$.
Найдем эту константу. Воспользуемся тем, что при $x = \frac{3d}{4} \: \phi = 0$. После подстановки получим, что константа равна $- \frac{З \mathcal{E}}{2}$, а распределение потенциала имеет вид
$\phi(x) = \mathcal{E} \left ( \frac{2x}{d} - \frac{3}{2} \right )$.
Распределение потенциала между пластинами конденсатора для всех трех участков изображено на рисунке а.
Разберем теперь второй случай, когда за нулевой потенциал принимается левая обкладка конденсатора: при $x = 0 \: \phi = 0$. Распределение потенциала на участке $0 \leq x \leq \frac{d}{4}$ будет иметь вид
$\phi(x) = \frac{2 \mathcal{E} }{d} x$.
В интервале $\frac{d}{4} \leq x \leq \frac{3d}{4}$ потенциал остается постоянным и равным $\frac{ \mathcal{E}}{2}$. На третьем участке
$\phi(x) = \frac{2 \mathcal{E}}{d}x - \mathcal{E} = \mathcal{E} \left ( \frac{2x}{d} - 1 \right )$.
Соответствующий график представлен на рисунке б.