Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1520
2016-12-11 
Доказать, что потенциал точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии $r$ от него дается соотношением: $\phi = \frac{kq}{r}$.
Решение:
Выберем две близкие точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, а, следовательно, на одной силовой линии. Обозначим расстояние между точками $d$, а расстояние между точкой 1 и зарядом $q$ — через $r$. Предположим, что искомое соотношение справедливо. Тогда разность потенциалов $\Delta \phi$ между точками 1 и 2 равна:
$\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{kq}{r} - \frac{kq}{r+d} = \frac{kqd}{(r+d)r} \approx \frac{kqd}{r^{2}}$ (1)
(с учетом $d \ll r$).
Принимая во внимание, что из-за малости $d$ электрическое поле вблизи точек 1 и 2 можно считать однородным, воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом электрического поля:
$E = \frac{ \Delta \phi}{d} = \frac{kq}{r^{2}}$, (2)
то есть приходим к правильному выражению для напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом.
Доказательство соотношения $\phi = \frac{kq}{r}$ можно провести непосредственно, используя интегральное исчисление. Согласно определению потенциала:
$\phi = - \frac{A}{q_{0}}$, (3)
где $A$ — работа, совершенная электростатическим полем заряда $q$ над зарядом $q_{0}$ при перемещении последнего из бесконечно удаленной точки в данную точку пространства. Заряд $q_{0}$ будем перемещать вдоль радиуса:
$A = \int_{ \infty}^{r} Fdx = \int_{ \infty}^{r} \frac{kqq_{0}}{r^{2}} dr = - \frac{kqq_{0}}{r}$. (4)
Подставляя (4) в (3), получаем требуемое утверждение.
Доказать, что потенциал точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии $r$ от него дается соотношением: $\phi = \frac{kq}{r}$.
Решение:
Выберем две близкие точки 1 и 2, лежащие на одном радиусе, а, следовательно, на одной силовой линии. Обозначим расстояние между точками $d$, а расстояние между точкой 1 и зарядом $q$ — через $r$. Предположим, что искомое соотношение справедливо. Тогда разность потенциалов $\Delta \phi$ между точками 1 и 2 равна:
$\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{kq}{r} - \frac{kq}{r+d} = \frac{kqd}{(r+d)r} \approx \frac{kqd}{r^{2}}$ (1)
(с учетом $d \ll r$).
Принимая во внимание, что из-за малости $d$ электрическое поле вблизи точек 1 и 2 можно считать однородным, воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом электрического поля:
$E = \frac{ \Delta \phi}{d} = \frac{kq}{r^{2}}$, (2)
то есть приходим к правильному выражению для напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом.
Доказательство соотношения $\phi = \frac{kq}{r}$ можно провести непосредственно, используя интегральное исчисление. Согласно определению потенциала:
$\phi = - \frac{A}{q_{0}}$, (3)
где $A$ — работа, совершенная электростатическим полем заряда $q$ над зарядом $q_{0}$ при перемещении последнего из бесконечно удаленной точки в данную точку пространства. Заряд $q_{0}$ будем перемещать вдоль радиуса:
$A = \int_{ \infty}^{r} Fdx = \int_{ \infty}^{r} \frac{kqq_{0}}{r^{2}} dr = - \frac{kqq_{0}}{r}$. (4)
Подставляя (4) в (3), получаем требуемое утверждение.
