2021-06-03
Два небольших проводящих шарика радиусом $r$ расположены на расстоянии $R$ ($R \gg r$) друг от друга. Шарики поочередно заземляют. Определите потенциал шарика, который был заземчен первым, если первоначально каждый шарик имел заряд $q$.
Решение:
В нашем случае, когда $r \ll R$, мы будем пренебрегать возможным перераспределением зарядов по поверхностям сфер, полагая, что заряды распределены равномерно.
Сначала рассмотрим исходную ситуацию, когда каждый заряженный шарик находится в поле заряда другого шарика. Найдем потенциал каждого шарика, который будет включать в себя два слагаемых. Одно слагаемое - это потенциал шарика в собственном электрическом поле:
$\phi_{11} = \phi_{22} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$.
Здесь $\phi_{11}$ - потенциал первого шарика, который мы и будем заземлять первым, а $\phi_{22}$ - потенциал второго шарика. Второе слагаемое - это потенциал каждого шарика в поле другого шарика:
$\phi_{12} = \phi_{21} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$.
Здесь $\phi_{12}$ - потенциал первого шарика в поле второго шарика, а $\phi_{21}$ - потенциал второго шарика в поле первого. Теперь мы можем записать суммарный потенциал каждого шарика:
$\phi_{1} = \phi_{2} = \phi_{11} + \phi_{12} = \phi_{22} + \phi_{21} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right )$.
Заземлим первый шарик - его потенциал станет равным нулю, что возможно только при изменении заряда этого шарика. Новый заряд $q_{1}$ первого шарика найдем из условия
$\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } = 0$,
откуда
$q_{1} = - q \frac{r}{R}$.
После заземления второго шарика его потенциал станет равным нулю. Новый заряд $q_{2}$ на втором шарике определяется из уравнения
$\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0}R } + \frac{q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}r } = 0$,
откуда
$q_{2} = - q_{1} \frac{r}{R} = q \left ( \frac{r}{R} \right )^{2}$.
Потенциал $\phi$ шарика, который был заземлен первым, определяется новыми зарядами на обоих шариках:
$\phi = \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } + \frac{qr^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } \left ( \frac{r^{2} }{R^{2} } - 1 \right )$.