2021-06-03
Заряженная проводящая сфера радиусом $R_{1}$ окружена сферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и внешним радиусом $R_{2}$ (рис.). Найдите распределение потенциала $\phi (r)$ во всем пространстве и нарисуйте соответствующий график, если заряд сферы равен $Q$.
Решение:
Сначала найдем распределение напряженности электрического поля $E(r)$. Поскольку задача сферически симметрична, напряженность и потенциал будут зависеть только от радиуса $r$. Разобьем наше пространство на три части: $r \geq R_{2}; R_{1} \leq r \leq R_{2}; r \leq R_{1}$.
Напряженность поля в области $r \geq R_{2}$, очевидно, равна напряженности поля точечного заряда $Q$, помещенного в центр сферы. Следовательно, в этой области
$E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$.
Воспользуемся связью между напряженностью поля и потенциалом:
$E(r) = - \frac{d \phi }{dr}$.
Отсюда найдем
$d \phi = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } dr$.
После интегрирования обеих частей этого равенства получим
$\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} } + const$.
Для нахождения константы за нулевой уровень потенциала примем бесконечность: при $r \rightarrow \infty \: \phi \rightarrow 0$. При таком выборе константа будет равна нулю, и распределение потенциала будет иметь вид
$\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$.
Теперь рассмотрим область $R_{1} \leq r \leq R_{2}$. В этой области поле будет эквивалентно полю точечного заряда $Q$, который помещен в центр сферы, а все пространство заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Поэтому распределение напряженности поля здесь запишется в виде
$E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} }$.
Для приращения потенциала получим
$d \phi = - \frac{Q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} } dr$.
После интегрирования обеих частей этого равенства зависимость $\phi(r)$ будет иметь вид
$\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r } + const$.
Поскольку $\phi(r)$ - непрерывная функция, потенциал при $r = R_{2}$ должен быть одним и тем же как при стремлении $r$ к $R_{2}$ справа, так и при стремлении слева, т.е.
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R_{2} } = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{2} } + const$.
Отсюда константа будет равна $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R_{2} } \left ( 1 - \frac{1}{ \epsilon } \right )$, а распределение $\phi (r)$ будет иметь вид
$\phi(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r } + \frac{Q ( \epsilon - 1) }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{2} }$.
Наконец, рассмотрим область $r \leq R_{1}$. Здесь напряженность электрического поля равна нулю, и, следовательно, $\phi (r) = const$. Эту константу найдем из выражения для второй области при $r \rightarrow R_{1}$ и получим
$\phi (r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{1} } + \frac{Q ( \epsilon - 1) }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{2} }$.
На рисунке изображено распределение $\phi(r)$ для всех трех областей. Отметим характерную особенность приведенного распределения: при $r = R_{1}$ и $r = R_{2}$ происходят скачки производной $\frac{d \phi}{dr}$, а следовательно, и скачки напряженности электрического поля. Разрыв функции $E(r)$ при $r = R_{1}$ и $r = R_{2}$ связан с наличием поляризационных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика.