2021-06-03
КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатичес кого процесса 3-1 (рис.), равен $\eta$, а разность максичалъной и минимальной температур газа в цикле равна $\Delta T$. Найдите работу, совершенную $\nu$ молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.
Решение:
Нам задан КПД цикла, поэтому сначала разберемся, на каких участках цикла тепло подводится к идеальному газу, а на каких отводится. На изотермическом участке 1-2 газ совершает работу (происходит увеличение объема), а поскольку внутренняя энергия газа не изменяется, то работа газа происходит за счет подвода тепла. Обозначим подведенное количество теплоты через $Q_{1}$. На изохоре 2~3 при постоянном объеме происходит падение давления. Очевидно, что это осуществляется за счет уменьшения температуры газа, и в этом случае тепло отводится от газа. Обозначим отведенное количество теплоты через $Q_{2}$. На адиабатическом участке 3-1 тепло не отводится и не подводится, а с уменьшением объема над газом совершается работа, и его температура растет. Следовательно, в точке 3 газ имеет наименьшую температуру $T_{min}$, а максимальная температура $T_{max}$ газа была на изотерме 1-2. Таким образом,
$T_{max} - T_{min} = \Delta T$.
По определению, КПД замкнутого цикла равен
$\eta = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1} } = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1} }$.
На изотермическом участке 1-2 подведенное количество теплоты равно искомой работе, совершенной газом:
$Q_{1} = A$.
Тепло, отведенное на участке 2-3, очевидно, равно изменению внутренней энергии газа, взятому с противоположным знаком:
$Q_{2} = \frac{3}{2} \nu R (T_{max} - T_{min} ) = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$.
После подстановки $Q_{1}$ и $Q_{2}$ в выражение для КПД получим
$\eta = 1 - \frac{3}{2} \frac{ \nu R \Delta T}{A}$.
Отсюда
$A = \frac{3 \nu R \Delta T}{2(1 - \eta ) }$.