2021-06-03
Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (рис.). При этом газ совершает работу $A_{12}$. Затем газ сжимается в процессе 2-3, ког да его давление $p$ прямо пропорционально объему $V$. При этом над газом совершается работа $A_{23}$ ( $A_{23} > 0$ ). Наконец, газ сжимается в адиабатическом процессе 3-1, возвращаясь в первоначальное состояние. Найдите работу сжатия $A_{31}$, совершенную над газом в адиабатическом процессе.
Решение:
Обозначим температуру гелия в состояниях 1 и 2 через $T_{1}$ и $T_{2}$, а объемы газа - через $V_{1}$ и $V_{2}$. Пусть давление на изобаре 1-2 равно $p_{1}$, тогда работа, совершенная газом в этом процессе, будет равна
$A_{12} = p_{1}(V_{2} - V_{1}) = \nu R (T_{2} - T_{1})$,
где $\nu$ - число молей гелия.
Работу, совершенную над газом на участке 2-3, можно записать в виде
$A_{23} = \frac{p_{2} + p_{3}}{2} (V_{2} - V_{3}) = \frac{p_{2}V_{2} + p_{3}V_{2} - p_{2}V_{3} - p_{3}V_{3}}{2}$,
где $V_{2}, p_{2}$ - объем и давление газа в состоянии 2, a $V_{3}, p_{3}$ - объем и давление в состоянии 3. На $pV$ - диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, следовательно,
$\frac{p_{2} }{p_{3} } = \frac{V_{2} }{V_{3} }$, или $p_{3}V_{2} - p_{2}V_{3} = 0$.
С учетом этого соотношения выражение для работы $A_{23}$ приобретает вид
$A_{23} = \frac{p_{2}V_{2} - p_{3}V_{3} }{2} = \frac{ \nu R (T_{2} - T_{3} ) }{2}$,
где $T_{3}$ - температура гелия в состоянии 3.
Работа сжатия на адиабате 3-1 равна изменению внутренней энергии гелия:
$A_{31} = \frac{3}{2} \nu R(T_{1} - T_{3})$.
Найдем разность температур $T_{1} - T_{3}$. Для этого перепишем выражения для $A_{12}$ и $A_{23}$ в виде
$T_{2} - T_{1} = \frac{A_{12} }{ \nu R}, T_{2} - T_{3} = \frac{2A_{23} }{ \nu R }$,
откуда
$T_{1} - T_{3} = \frac{2A_{23} - A_{12} }{ \nu R}$.
Тогда окончательно
$A_{31} = \frac{3}{2} \nu R(T_{1} - T_{3}) = \frac{3}{2}(2A_{23} - A_{12})$.