2021-06-03
Найдите работу $A$, которую совершает моль гелия в замкнутом цикле, состоящем из адиабаты 1-2, изобары 2-3 и изохоры 3~1 (рис.). В адиабатическом процессе разность максимальной и минимальной температур газа равна $\Delta T$. В изобарическом процессе от газа отвели количество теплоты $Q$.
Решение:
Обозначим температуру гелия в состоянии 1 через $T_{1}$, в состоянии 2 - через $T_{2}$, а и состоянии 3 - через $T_{3}$.
Рассмотрим адиабатический процесс 1-2. Процесс идет с увеличением объема газа, следовательно, газ совершает работу. При адиабатическом процессе работа, совершаемая газом, численно равна изменению внутренней энергии газа, взятому с противоположным знаком, следовательно, температура газа уменьшается. В состоянии 1 температура максимальна, а в состоянии 2 - минимальна, поэтому можно записать
$T_{1} - T_{2} = \Delta T$.
Рассмотрим теперь изобарический процесс 2-3. По первому началу термодинамики можно записать
$-Q = C_{V} (T_{3} - T_{2}) + p_{2} (V_{3} - V_{2})$,
где $C_{V} = \frac{3R}{2}$ - молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме, $p_{2}$ - давление газа в изобарическом процессе 2-3. Отсюда, с учетом соотношений $p_{2}V_{3} = RT_{3}$ и $p_{2}V_{2} = RT_{2}$, получим
$T_{2} - T_{3} = \frac{Q}{C_{V} + R } = \frac{2}{5} \frac{Q}{R}$.
На изохорическом участке 3-1 работа газом не совершается, а увеличение внутренней энергии газа происходит за счет подвода тепла:
$Q_{31} = C_{V} (T_{1} - T_{3}) = C_{V} ((T_{1} - T_{2}) + (T_{2} - T_{3})) = C_{V} \left ( \Delta T + \frac{2}{5} \frac{Q}{R} \right ) = \frac{3}{2} R \Delta T + \frac{3}{5} Q$.
Работа, совершаемая молем газа в заданном цикле, равна
$A = Q_{31} - Q = \frac{3}{2} R \Delta T - \frac{2}{5}Q$.