2021-06-03
На рисунке для $\nu$ молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления $p$ от объема $V$ и изобары. На изобаре 1-2 газ совершил работу $A$, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Точки 2 и З на $pV$ диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат. Определите температуру газа в точке 1. Определите также работу газа за цикл.
Решение:
Обозначим температуру гелия в состоянии 1 через $T_{1}$. Тогда температура в состоянии 2 будет равна $4T_{1}$. Пусть давление на изобаре 1-2 равно $p_{1}$, тогда работа, которую совершил газ при изобарическом процессе, равна
$A = p_{1} (V_{2} - V_{1})$,
где $V_{1}$ и $V_{2}$ - объемы гелия в состояниях 1 и 2. Поскольку
$p_{1}V_{1} = \nu RT_{1}$ и $p_{1}V_{2} = 4 \nu RT_{1}$,
то
$A = 3 \nu RT_{1}$.
Отсюда
$T_{1} = \frac{A}{3 \nu R}$.
Работу газа за цикл найдем по площади треугольника 123:
$A_{ц} = \frac{1}{2} (p_{1} - p_{3})(V_{2} - V_{1})$,
где $p_{3}$ - давление газа в состоянии 3. Из уравнения состояния для идеального газа найдем
$V_{1} = \frac{ \nu RT_{1}}{p_{1} } = \frac{A}{3p_{1} }, V_{2} = \frac{4 \nu RT_{1} }{p_{1} } = \frac{4A}{3p_{1} }$.
После подстановки значений $V_{1}$ и $V_{2}$ в выражение для работы газа за цикл получим
$A_{ц} = \frac{A}{2} \left ( 1 - \frac{p_{3} }{p_{1} } \right )$.
Так как на нашей $pV$-диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, можно записать соотношение
$\frac{p_{3} }{p_{1} } = \frac{V_{3}}{V_{2} }$.
Поскольку
$V_{3} = \frac{ \nu RT_{1} }{p_{3} } = \frac{A}{3p_{3} }$ и $V_{2} = \frac{4A}{3p_{1} }$,
то
$\frac{p_{3} }{p_{1} } = \frac{p_{1} }{4p_{3} }$.
Отсюда
$\frac{p_{3} }{p_{1} } = \frac{1}{2}$,
и окончательно
$A_{ц} = \frac{A}{4}$.