2021-06-03
На диаграмме зависимости давления $p$ от объема $V$ для некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изобарами в точках 1, 2, 3 и 4 (рис.). Найдите отношение температур $\frac{T_{3}}{T_{1}}$, в точках 3 и 1, если отношение объемов в этих точках $\frac{V_{3}}{V_{1}} = \alpha$. Объемы газа в точках 2 и 4 равны.
Решение:
Рассмотрим изобарические участки. Уравнение изобары имеет вид $\frac{T}{V} = const$. Очевидно, что изобары 1-2 и 3-4 имеют разные константы, но нам они не понадобятся.
Запишем для состояний 1 и 2 соотношение
$\frac{T_{1} }{V_{1} } = \frac{T_{2} }{V_{2} }$,
где $T_{1}$ и $T_{2}$ - температуры газа на изотермах 4-1 и 2-3, a $V_{1}$ и $V_{2}$ - объемы газа в состояниях 1 и 2. Аналогичное соотношение для состояний 3 и 4 будет иметь вид
$\frac{T_{3} }{V_{3} } = \frac{T_{1} }{V_{2} }$,
где $V_{3}$ и $V_{2}$ - объемы газа в состояниях 3 и 4. Из каждого уравнения выразим отношение $\frac{T_{3} }{T_{1} }$ (равное отношению $\frac{T_{2}}{T_{1} }$):
$\frac{T_{3} }{T_{1} } = \frac{V_{2} }{V_{1} }, \frac{T_{3} }{T_{1} } = \frac{V_{3} }{V_{2} }$.
Перемножив почленно эти отношения, получим
$\left ( \frac{T_{3} }{T_{1} } \right )^{2} = \frac{V_{3} }{V_{1} } = \alpha$.
Отсюда
$\frac{T_{3} }{T_{1} } = \sqrt{ \alpha }$.