2021-06-03
На верхней горизонтальной плоскости пластинки из стекла с показателем преломления $n = 1,5$ сделано широкое клинообразное углубление, профиль которого показан на поперечном сечении пластинки, изображенном на рисунке. Сверху на пластинку падает параллельный пучок фотонов, движущихся вертикально вниз. При этом на матовой нижней плоскости пластинки наблюдается интерференционная картина. Зная, что толщина пластинки $H = 10 см$, энергия отдельного фотона $W = 4 \cdot 10^{-19} Дж$, а угол $\alpha = 0,02 рад$, определите наибольший порядок максимума в наблюдаемой интерференционной картине.
Решение:
Падающий на пластинку параллельный пучок фотонов, имеющих одинаковую энергию, с точки зрения электромагнитной теории света следует рассматривать как плоскую монохроматическую волну, частота колебаний в которой равна $\nu = \frac{W}{h}$, где $h = 6,62 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$ - постоянная Планка. Часть этой волны, падающая на горизонтальную плоскость пластинки, внутри нее распространяется в прежнем направлении, так как скорость фотонов направлена вертикально вниз. Часть же волны, падающая на образующую с горизонтом угол $\alpha$ плоскую поверхность пластинки, испытывает преломление (рис.). Считая, как обычно, стекло однородным прозрачным изотропным материалом, на основании известного закона геометрической оптики можно доказать, что нормаль к волновому фронту этой части волны внутри пластинки должна образовывать с вертикалью угол $\beta$, удовлетворяющий соотношению
$\sin \alpha = n \sin( \alpha - \beta )$, или $\beta = \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \alpha$, так как $\alpha \ll 1$ рад .
По условию задачи на матовой нижней плоскости пластинки наблюдается интерференционная картина. Поскольку в задаче требуется определить наибольший порядок максимума в этой картине, будем считать, что интерференционная картина может наблюдаться во всей области, где имеет место наложение световых пучков. Из рисунка ясно, что интерференция может иметь место лишь на отрезке EF. Считая, что пластинка находится в воздухе, показатель преломления которого, как обычно, будем считать равным единице, можно доказать, что при заданных параметрах пластинки и энергии падающих фотонов наибольшая разность хода будет иметь место в точке F. Следовательно, максимальный порядок наблюдаемого интерференционного максимума должен быть равен целой части отношения разности длин отрезков BF и AF к длине волны $\lambda$ распространяющегося в пластинке излучения. Поскольку скорость света в вакууме равна $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$, а фазовая скорость света в пластинке в $n$ раз меньше, то искомый порядок интерференции должен быть равен целой части отношения
$\frac{ BF - AF}{ \lambda } = \frac{nH}{ \lambda } \left ( \frac{1}{ \cos \beta } - 1 \right )$, где $\lambda = \frac{hc}{W}$.
Учитывая, что, в силу малости угла, $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^{2} \beta } = 1 - \frac{ \beta^{2} }{2}$, получим
$k_{max} \approx E \left \{ \frac{nH \beta^{2} }{2 \lambda } \right \} = E \left \{ \frac{(n - 1)^{2} \alpha^{2} HW }{2nhc} \right \} = 6$.
где символ $E\{ \cdots \}$ означает, что от стоящего в фигурных скобках выражения должна быть взята целая часть.