2021-06-03
С помощью объектива, состоящего из собирающей и рассеивающей линз с фокусными расстояниями $F_{1} = 20 см$ и $F_{2} = -20 см$ соответственно, находящихся на расстоянии $L = 16 см$ друг от друга, получили изображение Солнца. Найдите фокусное расстояние $F$ тонкой линзы, с помощью которой можно получить изображение Солнца того же размера, что и с помощью объектива. Линзы объектива считать тонкими, а их главные оптические оси совпадающими.
Решение:
Поскольку в условии задачи специально не оговорено положение оптической оси объектива, будем решать задачу, полагая, что эта ось проходит через центр Солнца. Тогда можно утверждать, что изображение Солнца (весьма удаленного от объектива светящегося шара), даваемое первой собирающей линзой, должно располагаться в ее фокальной плоскости и иметь вид круга, центр которого лежит на оптической оси, а радиус равен $r = F_{1} tg \alpha$, где $\alpha$ - половина угла, под которым виден диаметр Солнца из места расположения линзы (рис.).
По условию задачи рассеивающая линза расположена за собирающей на расстоянии $L$, меньшем фокусного расстояния последней. Поэтому для нахождения изображения Солнца, получаемого с помощью заданного объектива, круг радиусом $r$ следует рассматривать как мнимый предмет, изображение которого рассеивающей линзой и является искомым. Воспользовавшись формулой линзы, можно найти положение изображения, формируемого рассеивающей линзой, а затем, используя формулу для поперечного увеличения, определить радиус $R$ изображения Солнца, получаемого с помощью данного объектива. Однако решить задачу можно и не прибегая к указанным формулам, а построив изображение круга радиусом $r$, полагая, как и при использовании ранее указанных соотношений, что, изображение Солнца является стигматичным.
На рисунке показан один из возможных вариантов такого построения. Здесь цифрой 1 обозначен один из лучей, идущих от крайних точек Солнца и проходящих через оптический центр $O_{1}$ собирающей линзы $Л_{1}$. Ход этого луча за точкой его пересечения с главной плоскостью рассеивающей линзы $Л_{2}$ вплоть до точки А его пересечения с фокальной плоскостью собирающей линзы показан пунктирной линией. По предположению, изображение Солнца является стигматичным, т.е. все лучи, исходящие из некоторой его точки, должны пересекаться в одной и той же одной точке - точке, являющейся изображением рассматриваемой точки Солнца. Поэтому для нахождения изображения точки А можно воспользоваться, например, лучом 2, совпадающим с побочной оптической осью рассеивающей линзы, проходящей через точку А, и лучом 3, продолжение которого (на рисунке оно изображено пунктирной линией) проходит через точку А и главный фокус $F_{2}$ рассеивающей линзы. После пересечения главной плоскости линзы $Л_{2}$ в точке С луч 3 выходит из нее параллельно оптической оси объектива и пересекает луч 2 в точке В, являющейся изображением точки А. Из подобия прямоугольных треугольников $F_{1} F_{2}A$ и $O_{2}F_{2}C$ следует, что $\frac{r}{R} = \frac{ |F_{2}| - F_{1} +L}{ | F_{2} |}$.
Поскольку изображения Солнца, создаваемые неизвестной тонкой линзой и данным объективом, должны быть одинаковыми, то главная оптическая ось этой линзы должна проходить через центр Солнца, а ее фокусное расстояние должно быть равно
$F = \frac{R}{tg \alpha } = \frac{F_{1} |F_{2} | }{ | F_{2} | - F_{1} + L } = 25 см$.