2021-06-03
В плоский конденсатор вставили две пластины одинаковой толщины, заполнившие все пространство между его обкладками, причем так, что каждая из пластин касается одной из обкладок и другой пластины. Удельное сопротивление материала первой пластины $\rho_{1}$, второй $\rho_{2}$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Между пластинами поддерживается постоянное напряжение $U$. Найдите плотность поверхностного заряда на границе соприкосновения пластин.
Решение:
При возникновении электрических контактов между обкладками конденсатора и проводящими пластинами через них начинает протекать ток, а на границах проводников накапливаются избыточные электрические заряды. Под действием электрического поля, создаваемого этими зарядами, по прошествии достаточно большого промежутка времени через любое поперечное сечение цепи должен протекать один и тот же ток, величина которого, в соответствии с законом Ома для участка цепи, равна $I = \frac{U}{R_{1} + R_{2}}$, где $R_{1}$ и $R_{2}$ - сопротивления первой и второй пластин. При этом, конечно, предполагается, что обкладки конденсатора сделаны из идеальных проводников и сопротивление контактов между соприкасающимися телами равно нулю. Поэтому поверхности пластин, касающиеся обкладок, можно считать эквипотенциальными. Тогда сопротивление однородного призматического проводника, как и тонкого проводника, можно вычислить по формуле $R = \frac{ \rho l}{S}$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала проводника, $l$ - длина проводника, a $S$ - площадь его поперечного сечения. Следовательно, сила постоянного тока и модуль разности потенциалов $U_{1}$ между плоскостями первой пластины, касающимися обкладки конденсатора и второй пластины, связаны соотношением
$I = \frac{2U_{1} S}{ \rho_{1}d } = \frac{2(U - U_{1} )S}{ \rho_{2}d }$.
Учитывая, что пластины однородные и имеют одинаковые сечения, а обкладки конденсатора являются эквипотенциальными плоскостями (по предположению, они идеальные проводники), можно утверждать, что в установившемся режиме электрическое поле в пределах каждой из пластин является однородным и порождается зарядами, находящимися на обкладках и на границе между пластинами. Утверждая это, мы учли, что по условию задачи конденсатор плоский, а потому можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что заряды равномерно распределены по указанным плоскостям, а полем зарядов на торцах пластин можно пренебречь. Если считать, что удельное сопротивление первой пластины меньше, чем второй, и ток течет от первой пластины ко второй, на плоскости соприкосновения пластин должен находиться избыточный положительный заряд. Пусть поверхностная плотность этого заряда $\sigma$. Зная, что вектор напряженности поля плоскости, равномерно заряженной положительным зарядом, направлен по нормали от нее, а его модуль равен $E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$, где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная, на основании принципа суперпозиции полей можно записать
$\frac{2U_{1}}{d} = \frac{U}{d} - \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$.
Из полученных соотношений находим искомую плотность зарядов на границе соприкосновения пластин:
$\sigma = \frac{2 ( \rho_{2} - \rho_{1} ) \epsilon_{0}U }{( \rho_{1} + \rho_{2} )d }$.