2021-06-03
В тепловом двигателе в качестве рабочего вещества используют один моль идеального одноатомного газа. Цикл двигателя состоит из изобары, изохоры и адиабаты. КПД цикла $\eta$. Максимальная температура газа в цикле $T_{1}$, минимальная $T_{3}$. Зная, что максимальная температура реализуется при адиабатическом процессе, найдите работу, совершаемую над газом при его сжатии.
Решение:
На рисунке изображены два возможных цикла теплового двигателя, состоящие из изобары, изохоры и адиабаты (стрелками указаны направления изменения параметров газа). Если на этих рисунках изобразить изотермы, соответствующие разным температурам неизменного количества молей идеального газа, то легко доказать, что условиям задачи удовлетворяет лишь цикл, изображенный на рисунке а, и наиболее низкую температуру газ должен иметь в точке 3 - точке пересечения изобары и изохоры. На участке 3-1 (участок изохорического нагревания) газ не совершает работы, а количество теплоты, полученное газом на этом участке, равно
$Q_{31} = 1,5R(T_{1} - T_{3})$.
На участке 2-3 от газа тепло должно отводиться, так как внутренняя энергия газа уменьшается и над газом совершают работу. Молярная теплоемкость идеального одноатомного газа при изобарическом процессе 2-3 равна $2,5 R$, следовательно, на участке 2-3 от газа должно быть отведено количество теплоты
$Q_{23} = 2,5R(T_{2} - T_{3})$.
На участке 1-3 (участок адиабатического расширения), по определению адиабатического процесса, теплообмена газа с окружающими телами нет, газ совершает работу, а его внутренняя энергия уменьшается.
По определению коэффициент полезного действия цикла равен $\eta = \frac{A}{Q_{н}}$, где $A$ - совершенная газом за цикл работа, а $Q_{н}$ - полученное от нагревателя за цикл количество теплоты. В соответствии с первым законом термодинамики, если газ отдает холодильнику количество теплоты $Q_{x}$, то
$A = Q_{н} - Q_{x} = Q_{31} - Q_{23}$.
Решая совместно составленные уравнения, получим, что температура газа в конце адиабатического расширения (точка 2 на рисунке a) равна
$T_{2} =0,6(1 - \eta )T_{1} + (0,4 + 0,6 \eta ) T_{3}$.
Наконец, воспользовавшись полученным значением $T_{2}$ и уравнением Клапейрона-Менделеева, определим работу над газом при его сжатии, т.е. работу, совершаемую над газом на участке 2-3:
$A_{23} = p_{2} (V_{2} - V_{3}) = R(T_{2} - T_{3}) = 0,6R(1 - \eta)(T_{1} - T_{3})$.