Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15182
2021-06-03 
На свободно вращающиеся ободы двух одинаковых велосипедных колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой $m$, удерживаемому вблизи верхнего обода (рис.). Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса и равна $M$. С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода?
Решение:
Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь, а лабораторную систему отсчета, относительно которой оси колес неподвижны, можно считать инерциальной. Поскольку нить является шероховатой, при движении груза она не скользит по ободам колес. Из условия задачи следует, что в течение интересующего нас промежутка времени груз после отпускания движется поступательно вертикально вниз. Поэтому, учитывая, что ободы тонкие, нить нерастяжимая и тонкая, можно утверждать, что величины линейных скоростей точек ободов колес, груза и точек нити в указанные моменты времени должны быть одинаковыми.
Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии. Действительно, в рамках сделанных предположений механическую систему, состоящую из груза, нити, колес и Земли, следует считать изолированной консервативной системой. Пусть в некоторый момент времени $t$ после начала движения скорость груза стала равна $v$. В соответствии с условием задачи и сказанным ранее, кинетическую энергию колеса, определяемую как сумма кинетических энергий всех его точек, можно считать равной кинетической энергии его обода, т.е. $0,5Mv^{2}$. По прошествии достаточно малого промежутка времени $\Delta t$ ( $\Delta t \rightarrow 0$) величина скорости груза увеличится на некоторую малую величину $\Delta v$, а приращение кинетической энергии рассматриваемой системы тел будет равно
$\Delta W_{k} = 0,5 (m + 2M)((v + \Delta v)^{2} - v^{2}) = (m + 2M) v \Delta v$.
(Утверждая это, мы считали, что кинетическая энергия Земли при опускании груза остается неизменной. Последнее утверждение может показаться неверным. В самом деле, поскольку импульс вращающегося вокруг неподвижной оси однородного тонкого обода равен нулю, как и импульс нити, то на основании закона сохранения импульса (рассматриваемая система при сделанных предположениях, конечно, является замкнутой) нужно считать, что приращения импульсов груза и Земли по отношению к инерциальной системе отсчета должны быть равны по величине. Однако, учитывая, что масса Земли во много раз больше массы груза, изменением скорости Земли по отношению к инерциальной системе отсчета, обусловленным движением груза, надо пренебречь. Поэтому следует пренебречь не только изменением кинетической энергии Земли, но и ее ускорением, обусловленным движением груза, а потому лабораторную систему отсчета действительно можно считать инерциальной.)
Поскольку выбранный промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, величину ускорения $a$ груза в течение этого промежутка с большой точностью можно считать постоянной. Следовательно, за этот промежуток времени скорость груза должна увеличиться на $\Delta v = a \Delta t$, а груз должен опуститься на $\Delta h = v \Delta t + 0,5a( \Delta t)^{2}$. Учитывая, что $v \gg 0,5a \Delta t$, последним слагаемым в предыдущей формуле следует пренебречь. Поэтому за рассматриваемый малый промежуток времени убыль потенциальной энергии системы будет равна
$\Delta W_{p} = mg \Delta h = mgv \Delta t$.
Из равенства $\Delta W_{k} = \Delta W_{p}$ получаем, что ускорение груза в течение рассматриваемого малого промежутка времени равно
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{m}{m + 2M}g$.
На свободно вращающиеся ободы двух одинаковых велосипедных колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой $m$, удерживаемому вблизи верхнего обода (рис.). Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса и равна $M$. С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода?
Решение:
Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь, а лабораторную систему отсчета, относительно которой оси колес неподвижны, можно считать инерциальной. Поскольку нить является шероховатой, при движении груза она не скользит по ободам колес. Из условия задачи следует, что в течение интересующего нас промежутка времени груз после отпускания движется поступательно вертикально вниз. Поэтому, учитывая, что ободы тонкие, нить нерастяжимая и тонкая, можно утверждать, что величины линейных скоростей точек ободов колес, груза и точек нити в указанные моменты времени должны быть одинаковыми.
Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии. Действительно, в рамках сделанных предположений механическую систему, состоящую из груза, нити, колес и Земли, следует считать изолированной консервативной системой. Пусть в некоторый момент времени $t$ после начала движения скорость груза стала равна $v$. В соответствии с условием задачи и сказанным ранее, кинетическую энергию колеса, определяемую как сумма кинетических энергий всех его точек, можно считать равной кинетической энергии его обода, т.е. $0,5Mv^{2}$. По прошествии достаточно малого промежутка времени $\Delta t$ ( $\Delta t \rightarrow 0$) величина скорости груза увеличится на некоторую малую величину $\Delta v$, а приращение кинетической энергии рассматриваемой системы тел будет равно
$\Delta W_{k} = 0,5 (m + 2M)((v + \Delta v)^{2} - v^{2}) = (m + 2M) v \Delta v$.
(Утверждая это, мы считали, что кинетическая энергия Земли при опускании груза остается неизменной. Последнее утверждение может показаться неверным. В самом деле, поскольку импульс вращающегося вокруг неподвижной оси однородного тонкого обода равен нулю, как и импульс нити, то на основании закона сохранения импульса (рассматриваемая система при сделанных предположениях, конечно, является замкнутой) нужно считать, что приращения импульсов груза и Земли по отношению к инерциальной системе отсчета должны быть равны по величине. Однако, учитывая, что масса Земли во много раз больше массы груза, изменением скорости Земли по отношению к инерциальной системе отсчета, обусловленным движением груза, надо пренебречь. Поэтому следует пренебречь не только изменением кинетической энергии Земли, но и ее ускорением, обусловленным движением груза, а потому лабораторную систему отсчета действительно можно считать инерциальной.)
Поскольку выбранный промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, величину ускорения $a$ груза в течение этого промежутка с большой точностью можно считать постоянной. Следовательно, за этот промежуток времени скорость груза должна увеличиться на $\Delta v = a \Delta t$, а груз должен опуститься на $\Delta h = v \Delta t + 0,5a( \Delta t)^{2}$. Учитывая, что $v \gg 0,5a \Delta t$, последним слагаемым в предыдущей формуле следует пренебречь. Поэтому за рассматриваемый малый промежуток времени убыль потенциальной энергии системы будет равна
$\Delta W_{p} = mg \Delta h = mgv \Delta t$.
Из равенства $\Delta W_{k} = \Delta W_{p}$ получаем, что ускорение груза в течение рассматриваемого малого промежутка времени равно
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{m}{m + 2M}g$.
