2021-06-03
Катушку, лежащую на горизонтальной плоскости, тянут за намотанную на ее среднюю часть легкую нерастяжимую нить так, что ее конец А движется со скоростью $v$ под углом $\alpha = 30^{ \circ }$ к горизонту (рис.). При этом катушка катится без проскальзывания, а ее ось не изменяет своей ориентации. Найдите скорость движения оси катушки, если радиус $r$ средней части катушки в $n = 2$ раза меньше радиуса $R$ ее щек.
Решение:
По условию задачи при движении точки А нити катушка катится без проскальзывания, сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая, как это обычно и делается в подобных задачах, катушку твердым телом, ее движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью $u$ и вращения с некоторой угловой скоростью $\omega$ вокруг оси катушки. Катушка катится без проскальзывания, поэтому геометрическое место точек касания катушкой плоскости (считаем, конечно, плоскость абсолютно твердой) является мгновенной осью вращения, а величина угловой скорости вращения катушки равна
$\omega = \frac{u}{R}$.
Участок нити между точкой В ее касания средней части катушки и точкой А (рис.) можно считать прямолинейным и утверждать, что сила натяжения нити в момент начала движения катушки должна образовывать с горизонтом тот же угол, что и касательная к нити в точке А. Поскольку иное специально не оговорено в условии задачи, будем считать указанный отрезок нити целиком расположенным в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси катушки. Тогда, как это видно из рисунка, момент силы натяжения нити должен заставить катушку вращаться по часовой стрелке. Следовательно, учитывая нерастяжимость нити, можно утверждать, что
$v = u \cos \alpha - \omega r$.
Отсюда находим искомую скорость движения оси катушки:
$u = \frac{v}{ \cos \alpha - \frac{1}{n} } = \frac{2v}{ \sqrt{3} - 1 }$.