Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15179
2021-06-03 
Гантель, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать вследствие малого отклонения вправо от вертикали. Определите силу $F$, с которой левый шарик гантели действует на опору за мгновение до удара об опору правого шарика. Масса каждого шарика $m$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
На гантель действуют силы тяжести и реакции опоры. Центр масс гантели будет двигаться по вертикали (горизонтальные силы отсутствуют, начальная горизонтальная скорость равна нулю). Уравнение движения центра масс в ЛСО имеет вид
$2m \frac{dv_{y} }{dt} = - 2mg + N$.
В Ц-системе гантель вращается (рис.) с угловой скоростью
$\omega = \frac{d \alpha }{dt}$.
Скорость нижней точки гантели направлена горизонтально. Следовательно, из правила сложения скоростей при любом угле $\alpha$ получаем
$v_{y} = - \omega R \sin \alpha$,
где $R$ - половина расстояния между шариками. Продифференцируем это равенство по времени:
$\frac{dv_{y}}{dt} = - \left ( \frac{d \omega }{dt} R \sin \alpha + \omega^{2} R \cos \alpha \right )$
При $\alpha = \frac{ \pi}{2}$ получаем
$\frac{dv_{y}}{dt} = - R \frac{d \omega }{dt}$.
Кинетическая энергия гантели равна
$\frac{2mv_{y}^{2}}{2} + 2 \frac{m( \omega R)^{2} }{2} = m \omega^{2} R^{2} \sin^{2} \alpha + m \omega^{2}R^{2}$,
Силы трения отсутствуют, поэтому полная механическая энергия сохраняется:
$m \omega^{2} R^{2} \sin^{2} \alpha + m \omega^{2}R^{2} = 2mgR(1 - \cos \alpha )$,
т.е. приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной. Дифференцируя последнее равенство по времени и полагая $\alpha = \frac{ \pi}{2}$, находим
$R \frac{d \omega}{dt} = \frac{1}{2}g$.
Следовательно, в рассматриваемый момент времени вертикальная проекция ускорения центра масс гантели равна
$\frac{dv_{y}}{dt} = - R \frac{d \omega }{dt} = - \frac{1}{2}g$.
Из уравнения движения центра масс по вертикали находим величину силы реакции опоры:
$N = 2mg + 2m \frac{dv_{y} }{dt} = mg$.
По третьему закону Ньютона,
$F = N = mg$.
Гантель, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать вследствие малого отклонения вправо от вертикали. Определите силу $F$, с которой левый шарик гантели действует на опору за мгновение до удара об опору правого шарика. Масса каждого шарика $m$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
На гантель действуют силы тяжести и реакции опоры. Центр масс гантели будет двигаться по вертикали (горизонтальные силы отсутствуют, начальная горизонтальная скорость равна нулю). Уравнение движения центра масс в ЛСО имеет вид
$2m \frac{dv_{y} }{dt} = - 2mg + N$.
В Ц-системе гантель вращается (рис.) с угловой скоростью
$\omega = \frac{d \alpha }{dt}$.
Скорость нижней точки гантели направлена горизонтально. Следовательно, из правила сложения скоростей при любом угле $\alpha$ получаем
$v_{y} = - \omega R \sin \alpha$,
где $R$ - половина расстояния между шариками. Продифференцируем это равенство по времени:
$\frac{dv_{y}}{dt} = - \left ( \frac{d \omega }{dt} R \sin \alpha + \omega^{2} R \cos \alpha \right )$
При $\alpha = \frac{ \pi}{2}$ получаем
$\frac{dv_{y}}{dt} = - R \frac{d \omega }{dt}$.
Кинетическая энергия гантели равна
$\frac{2mv_{y}^{2}}{2} + 2 \frac{m( \omega R)^{2} }{2} = m \omega^{2} R^{2} \sin^{2} \alpha + m \omega^{2}R^{2}$,
Силы трения отсутствуют, поэтому полная механическая энергия сохраняется:
$m \omega^{2} R^{2} \sin^{2} \alpha + m \omega^{2}R^{2} = 2mgR(1 - \cos \alpha )$,
т.е. приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной. Дифференцируя последнее равенство по времени и полагая $\alpha = \frac{ \pi}{2}$, находим
$R \frac{d \omega}{dt} = \frac{1}{2}g$.
Следовательно, в рассматриваемый момент времени вертикальная проекция ускорения центра масс гантели равна
$\frac{dv_{y}}{dt} = - R \frac{d \omega }{dt} = - \frac{1}{2}g$.
Из уравнения движения центра масс по вертикали находим величину силы реакции опоры:
$N = 2mg + 2m \frac{dv_{y} }{dt} = mg$.
По третьему закону Ньютона,
$F = N = mg$.
