ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-06-03   
На гладкой горизонтальной плос кости лежит клин с углом при вершине $\alpha$. На гладкой наклонной рис. плоскости клина лежит брусок, связанный с клином пружиной жесткостью $k$ (рис.). Масса клина $M$, масса бруска $m$. Найдите период $T$ малых колебаний системы.



Решение:


Предлагаем два способа решения задачи.

Первый способ


Внешние силы, действующие на систему клин - брусок, направлены только по вертикали (рис.). Следовательно, импульс системы в горизонтальном направлении сохраняется:

$Mv_{1} + mv_{2x} = 0$.

Интегрируя это равенство по времени, получаем

$Mx_{1} + mx_{2} = 0$.

Начало отсчета ЛСО соответствует такому положению бруска, при котором пружина недеформирована. Из геометрии перемещений (рис.) с учетом последнего соотношения находим удлинение пружины:

$\Delta L = \frac{x_{2} - x_{1} }{ \cos \alpha } = \frac{x_{2} }{ \cos \alpha } \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$

и смещение бруска по вертикали:

$y_{2} = - x_{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) tg \alpha$

в зависимости от координаты $x_{2}$ бруска.

Квадратичная относительно смещения $x_{2}$ часть потенциальной энергии имеет вид

$E_{P} = \frac{k \Delta L^{2} }{2} = \frac{k}{2 \cos^{2} \alpha } \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )^{2} x_{2}^{2}$

(линейные относительно $x_{2}$ и $y_{2}$ слагаемые сокращаются вблизи положения равновесия). Так как $x_{1}$ и $y_{2}$ линейны относительно $x_{2}$, кинетическая энергия системы клин - брусок будет квадратичной функцией горизонтальной проекции $v_{2x} = x_{2}^{ \prime }$ скорости шайбы:

$E_{k} = \frac{Mv_{1x}^{2} }{2} + \frac{m}{2} ( v_{2x}^{2} + v_{2y}^{2} ) = \frac{m}{2} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) \left (1 + \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) tg^{2} \alpha \right ) (x_{2}^{ \prime } )^{2}$.

Если механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются в зависимости от обобщенной координаты $q$ формулами вида

$E_{P} = \frac{ \gamma }{2} q^{2}$ и $E_{k} = \frac{ \beta }{2} (q^{ \prime } )^{2}$,

то обобщенная координата совершает гармонические колебания с круговой частотой

$\omega = \sqrt{ \frac{ \gamma }{ \beta } }$.

Тогда в рассматриваемой задаче смещения тел от положения равновесия совершают гармонические колебания с периодом

$T = \frac{2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} \frac{ \cos^{2} \alpha + \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) \sin^{2} \alpha }{1 + \frac{m}{M} } }$.

Второй способ

На брусок действуют три силы: упругости, тяжести и реакции опоры (см. рис.). По второму закону Ньютона,

$m \vec{a}_{2} = \vec{F}_{упр} + m \vec{g} + \vec{N}$.

Переходя к проекциям сил и ускорения на оси ЛСО, получаем

$ma_{2x} = - k \Delta L \cos \alpha + N \sin \alpha$,
$ma_{2y} = k \Delta L \sin \alpha - mg + N \cos \alpha$.

Подставляя в эти уравнения полученные выше кинематические соотношения

$\Delta L = \frac{x_{2} - x_{1}}{ \cos \alpha } = \frac{x_{2} }{ \cos \alpha } \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$

и

$a_{2y} = - a_{2x} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) tg \alpha$,

приходим (после исключения $N$) к уравнению

$m \left ( \cos^{2} \alpha + \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) \sin^{2} \alpha \right ) a_{2x} = - k \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) x_{2} + mg tg \alpha$,

описывающему гармонические колебания смещения бруска относительно положения равновесия, которое определяется соотношением

$k \Delta L_{0} = mg \sin \alpha$.

Введение новой переменной

$X_{2} = x_{2} - \frac{ \Delta L_{0}}{ \cos \alpha }$

приводит последнее уравнение к виду

$X_{2}^{ \prime \prime } = - \omega^{2} X_{2}$,

где

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} \frac{1 + \frac{m}{M} }{ \cos^{2} \alpha + \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) \sin^{2} \alpha } }$.

Это значение циклической частоты совпадает с полученным ранее.