ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-06-03   
По клину массой $M$, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой $m$. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол $\alpha$. Определите величину ускорения клина $a_{1}$. Под каким углом $\beta$ к горизонту движется шайба? Найдите силу давления $F$ шайбы на клин. Ускорение свободного падения равно $g$.


Решение:


Обсудим два способа решения этой задачи.

Первый способ


Внешние силы, действующие на систему клин - шайба, направлены только по вертикали (рис.). Следовательно, импульс системы в горизонтальном направлении сохраняется:

$Mv_{1x} + mv_{2x} = 0$.

Отсюда дифференцированием по времени получаем

$Ma_{1x} + ma_{2x} = 0$.


Скорость шайбы $\vec{v}_{2}$ в ЛСО, скорость шайбы $\vec{u}$ относительно клипа $\vec{v}_{1}$ скорость клина г, в ЛСО связаны законом сложения скоростей (рис.):

$\vec{v}_{2} = \vec{v}_{1} + \vec{u}$,

так что

$v_{2x} = v_{1x} - u \cos \alpha$,
$v_{2y} = - u \sin \alpha$.

Подставляя выражение для $v_{2x}$ в выражение закона сохранения импульса, находим

$u = v_{1x} \frac{m + M}{m \cos \alpha }$.

С учетом этого соотношения получаем

$v_{2y} = - v_{1x} \frac{m + M}{m} tg \alpha$,
$a_{2y} = - a_{1x} \frac{m + M}{m} tg \alpha$.

Далее обратимся к энергетическим соображениям. Поскольку силы трения отсутствуют, полная механическая энергия системы клин - шайба сохраняется:

$\frac{Mv_{1x}^{2} }{2} + mgy + \frac{mv_{2x}^{2}}{2} + \frac{mv_{2y}^{2} }{2} = mgh$,

где буквой $h$ обозначена $y$-координата шайбы при $t = 0$. Дифференцируя это равенство по времени, получаем

$Mv_{1x}a_{1x} + mgv_{2y} + mv_{2x}a_{2x} + mv_{2y}a_{2y} = 0$.

Подстановка в это соотношение полученных выше выражений для $v_{2x}, v_{2y}, a_{2x}, a_{2y}$ приводит (после сокращения на $v_{1x}$) к ответу на вопрос об ускорении клина:

$a_{1x} = \frac{1}{2} \frac{m \sin 2 \alpha }{M + m \sin^{2} \alpha } g$.

Для определения угла $\beta$ заметим, что в ЛСО шайба движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью, так что ее перемещение за любой промежуток времени сонаправлено с вектором ускорения $\vec{a}_{2}$, тогда

$\beta = arctg \left | \frac{a_{2y} }{a_{2x} } \right | = arctg \left ( \frac{m + M}{M} tg \alpha \right )$.

Горизонтальная составляющая силы давления $F$ шайбы на клин (см. рис.) сообщает клину ускорение $a_{1x}$. По второму закону Ньютона,

$Ma_{1x} = F \sin \alpha$.

Отсюда находим силу давления:

$F = \frac{Mm \cos \alpha}{M + m \sin^{2} \alpha } g$.

Второй способ

Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого из тел. Силы, приложенные к телам, указаны на рисунке. Запишем второй закон Ньютона для клина:

$M \vec{a}_{1} = M \vec{g} + \vec{F} + \vec{R}$

и для шайбы:

$m \vec{a}_{2} = m \vec{g} + \vec{N}$.

Переходя к проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учетом равенства $\vec{F} = - \vec{N}$, получаем

$M a_{1x} = N \sin \alpha$,
$ma_{2x} = - N \sin \alpha$,
$ma_{2y} = mg - N \cos \alpha$.

Скорость $\vec{v}_{2}$ шайбы в ЛСО, скорость $\vec{u}$ шайбы относительно клина и скорость $\vec{v}_{1}$ клина в ЛСО связаны законом сложения скоростей:

$\vec{v}_{2} = \vec{v}_{1} + \vec{u}$.

Дифференцируя это равенство по времени, находим связь соответствующих ускорений:

$\vec{a}_{2} = \vec{a}_{1} + \vec{w}$.

Из треугольника ускорений (см. треугольник скоростей на рисунке) следует

$tg \alpha = \frac{a_{2y}}{a_{2x} - a_{1x} }$.

Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы $a_{2x}$ и $a_{2y}$, после несложных преобразований получаем

$a_{1x} = \frac{1}{2} \frac{m \sin 2 \alpha }{M + m \sin^{2} \alpha } g$.